Номер 10.3, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.3. Для функции, заданной графически, укажите область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции:

а) рис. 34;

б) рис. 35;

в) рис. 36;

г) рис. 37.

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

а) рис. 34

1. Область определения. Проекция графика на ось абсцисс ($Ox$) является отрезком $[-4; 3]$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-4; 3]$.
2. Существование обратной функции. Функция является строго убывающей на всей своей области определения, так как для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Любая горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Следовательно, для данной функции существует обратная функция.
3. Эскиз графика обратной функции. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, $D(y^{-1}) = E(y) = [-3; 3]$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, $E(y^{-1}) = D(y) = [-4; 3]$.
Для построения эскиза выберем ключевые точки на графике исходной функции: $(-4; 3)$, $(-2; 1)$, $(0; 0)$, $(2; -1)$, $(3; -3)$. Точками на графике обратной функции будут точки с инвертированными координатами: $(3; -4)$, $(1; -2)$, $(0; 0)$, $(-1; 2)$, $(-3; 3)$. Соединим эти точки плавной кривой.

На эскизе синим цветом показан график исходной функции, красным — график обратной функции, зелёным пунктиром — прямая $y=x$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-4; 3]$. Обратная функция существует. Эскиз графика представлен выше.

б) рис. 35

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ — это отрезок $[-3; 4]$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-3; 4]$.
2. Существование обратной функции. Функция не является монотонной на своей области определения. Например, на отрезке $[-3; -1]$ функция возрастает, а на отрезке $[-1; 2.5]$ — убывает. Применение теста горизонтальной прямой показывает, что существуют горизонтальные прямые (например, $y=1$), которые пересекают график функции более чем в одной точке. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, что нарушает условие обратимости. Следовательно, обратная функция на всей области определения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 4]$. Обратная функция не существует.

в) рис. 36

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ — это отрезок $[-3; 2]$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-3; 2]$.
2. Существование обратной функции. Функция не является монотонной на всей области определения. На отрезке $[-3; -1]$ она возрастает, на отрезке $[-1; 1]$ — убывает, а на отрезке $[1; 2]$ — снова возрастает. Горизонтальная прямая (например, $y=0$) пересекает график в трёх точках. Следовательно, обратная функция на всей области определения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 2]$. Обратная функция не существует.

г) рис. 37

1. Область определения. Проекция графика на ось $Ox$ является отрезком $[-2; 4]$. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-2; 4]$.
2. Существование обратной функции. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения, так как для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Любая горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Следовательно, для данной функции существует обратная функция.
3. Эскиз графика обратной функции. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$. Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, $D(y^{-1}) = E(y) = [-3; 3]$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, $E(y^{-1}) = D(y) = [-2; 4]$.
Для построения эскиза выберем ключевые точки на графике исходной функции: $(-2; -3)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(4; 3)$. Точками на графике обратной функции будут точки с инвертированными координатами: $(-3; -2)$, $(0; -1)$, $(1; 0)$, $(3; 4)$. Соединим эти точки плавной кривой.

На эскизе синим цветом показан график исходной функции, красным — график обратной функции, зелёным пунктиром — прямая $y=x$.
Ответ: Область определения $D(y) = [-2; 4]$. Обратная функция существует. Эскиз графика представлен выше.