Номер 8.16, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.16. Докажите:

а) если функция $y = f(x)$ возрастает или убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на $X$;

б) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, а функция $y = g(x)$ убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на $X$.

а)

Доказательство проведем методом от противного. Функция, которая возрастает или убывает на промежутке, называется строго монотонной. Нужно доказать, что строго монотонная функция каждое свое значение принимает только один раз.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке X.

По определению, если функция возрастает на промежутке X, то для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет на промежутке X более одного корня. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два различных корня этого уравнения на промежутке X ($x_1 \neq x_2$). Это означает, что $f(x_1) = a$ и $f(x_2) = a$, и, следовательно, $f(x_1) = f(x_2)$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — различные числа, одно из них меньше другого. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$.

Так как функция $f(x)$ возрастает на X и $x_1 < x_2$, то по определению возрастающей функции должно выполняться неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, $f(x_1) = f(x_2)$, а с другой — $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании более одного корня неверно.

Случай 2: Функция $y=f(x)$ убывает на промежутке X.

По определению, если функция убывает на промежутке X, то для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Аналогично первому случаю, предположим, что существуют два различных корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$) на промежутке X, и пусть $x_1 < x_2$. Тогда $f(x_1) = a$ и $f(x_2) = a$, что означает $f(x_1) = f(x_2)$.

Но так как функция $f(x)$ убывает на X и $x_1 < x_2$, то по определению убывающей функции должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Мы снова пришли к противоречию: $f(x_1) = f(x_2)$ и $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что наше предположение неверно.

В обоих случаях мы доказали, что уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на промежутке X, если функция на этом промежутке строго монотонна.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим уравнение $f(x) = g(x)$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить равносильное уравнение $f(x) - g(x) = 0$.

Введем новую функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Теперь задача состоит в том, чтобы доказать, что уравнение $h(x) = 0$ не может иметь более одного корня на промежутке X.

Согласно утверждению из пункта а), если мы докажем, что функция $h(x)$ является строго монотонной (возрастающей или убывающей) на промежутке X, то уравнение $h(x) = 0$ не сможет иметь более одного корня.

Исследуем монотонность функции $h(x)$.

По условию, функция $f(x)$ возрастает на промежутке X. Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Также по условию, функция $g(x)$ убывает на промежутке X. Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.

Умножим обе части последнего неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-g(x_1) < -g(x_2)$.

Теперь рассмотрим разность $h(x_2) - h(x_1)$ для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$:

$h(x_2) - h(x_1) = (f(x_2) - g(x_2)) - (f(x_1) - g(x_1)) = (f(x_2) - f(x_1)) + (-g(x_2) - (-g(x_1))) = (f(x_2) - f(x_1)) - (g(x_2) - g(x_1))$

Или, что то же самое, $h(x) = f(x) + (-g(x))$. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $-g(x)$ также возрастает, их сумма $h(x)$ является возрастающей функцией.

Продемонстрируем это формально. Сложим два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$-g(x_1) < -g(x_2)$
Получаем: $f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2)$, что эквивалентно $h(x_1) < h(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $h(x_1) < h(x_2)$. Это по определению означает, что функция $h(x)$ строго возрастает на промежутке X.

Так как функция $h(x)$ является возрастающей на X, то по доказанному в пункте а) утверждению, уравнение $h(x) = 0$ (а значит, и исходное уравнение $f(x) = g(x)$) не может иметь более одного корня на промежутке X.

Ответ: Утверждение доказано.