Номер 6.6, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.6. Докажите равенство (при каждом натуральном n):

а) $1^2 + 4^2 + 7^2 + \dots + (3n - 2)^2 = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$

б) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

в) $3^2 + 7^2 + 10^2 + \dots + (4n - 1)^2 = \frac{n(16n^2 + 12n - 1)}{3}$

г) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$

Для доказательства всех равенств используется метод математической индукции.

а) Докажем равенство $1^2 + 4^2 + 7^2 + \dots + (3n - 2)^2 = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$.

1. База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $(3 \cdot 1 - 2)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(6 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{1(6 - 3 - 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Так как $1=1$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, $\sum_{i=1}^{k} (3i - 2)^2 = \frac{k(6k^2 - 3k - 1)}{2}$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $\sum_{i=1}^{k+1} (3i - 2)^2 = \frac{(k+1)(6(k+1)^2 - 3(k+1) - 1)}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$\sum_{i=1}^{k+1} (3i - 2)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (3i - 2)^2 \right) + (3(k+1) - 2)^2$.

Используя индукционное предположение, заменяем сумму:
$\frac{k(6k^2 - 3k - 1)}{2} + (3k + 1)^2 = \frac{6k^3 - 3k^2 - k}{2} + 9k^2 + 6k + 1 = \frac{6k^3 - 3k^2 - k + 2(9k^2 + 6k + 1)}{2} = \frac{6k^3 - 3k^2 - k + 18k^2 + 12k + 2}{2} = \frac{6k^3 + 15k^2 + 11k + 2}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:
$\frac{(k+1)(6(k+1)^2 - 3(k+1) - 1)}{2} = \frac{(k+1)(6(k^2+2k+1) - 3k - 3 - 1)}{2} = \frac{(k+1)(6k^2+12k+6 - 3k - 4)}{2} = \frac{(k+1)(6k^2+9k+2)}{2} = \frac{6k^3+9k^2+2k+6k^2+9k+2}{2} = \frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}$.

Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2 - 1)}{3} = \frac{1(4 - 1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^2 = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3}$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^2 \right) + (2(k+1) - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3} + (2k+1)^2 = \frac{4k^3 - k}{3} + 4k^2 + 4k + 1 = \frac{4k^3 - k + 3(4k^2 + 4k + 1)}{3} = \frac{4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3}{3} = \frac{4k^3 + 12k^2 + 11k + 3}{3}$.

Преобразуем правую часть:
$\frac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1) - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} = \frac{4k^3+8k^2+3k+4k^2+8k+3}{3} = \frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем равенство $3^2 + 7^2 + 11^2 + \dots + (4n - 1)^2 = \frac{n(16n^2 + 12n - 1)}{3}$.

Примечание: В условии задачи, вероятно, опечатка. Третий член суммы $10^2$ не соответствует общей формуле члена $(4n-1)^2$, так как для $n=3$ член должен быть $(4 \cdot 3 - 1)^2 = 11^2$. Доказательство будет проведено для исправленной последовательности.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(4 \cdot 1 - 1)^2 = 3^2 = 9$.
Правая часть: $\frac{1(16 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 1)}{3} = \frac{16 + 12 - 1}{3} = \frac{27}{3} = 9$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (4i - 1)^2 = \frac{k(16k^2 + 12k - 1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (4i - 1)^2 = \frac{(k+1)(16(k+1)^2 + 12(k+1) - 1)}{3}$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (4i - 1)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (4i - 1)^2 \right) + (4(k+1) - 1)^2 = \frac{k(16k^2 + 12k - 1)}{3} + (4k+3)^2 = \frac{16k^3 + 12k^2 - k + 3(16k^2 + 24k + 9)}{3} = \frac{16k^3 + 12k^2 - k + 48k^2 + 72k + 27}{3} = \frac{16k^3 + 60k^2 + 71k + 27}{3}$.

Преобразуем правую часть:
$\frac{(k+1)(16(k+1)^2 + 12(k+1) - 1)}{3} = \frac{(k+1)(16(k^2+2k+1) + 12k+11)}{3} = \frac{(k+1)(16k^2+44k+27)}{3} = \frac{16k^3+44k^2+27k+16k^2+44k+27}{3} = \frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем равенство $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1)$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^3 = \left( \sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^3 \right) + (2(k+1) - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3 = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Преобразуем правую часть:
$(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1) = (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.