Номер 5.19, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.19. a) Найдите все значения $a$, при которых $|x - 2| = a$, если $|x - a| = 1$;

б) найдите все значения $a$, при которых $|x - 2a + a^2| = a$, если $|x - a| = 2 - a$.

а)

Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} |x - 2| = a \\ |x - a| = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $|x - 2| = a$ следует, что $a \ge 0$, так как значение модуля всегда неотрицательно.

Раскроем модуль во втором уравнении $|x - a| = 1$. Это равносильно совокупности двух уравнений:
$x - a = 1$ или $x - a = -1$.
Отсюда получаем два возможных выражения для $x$: $x = a + 1$ или $x = a - 1$.

Теперь необходимо подставить каждое из этих выражений для $x$ в первое уравнение системы и найти соответствующие значения $a$.

Случай 1: $x = a + 1$
Подставляем в первое уравнение: $|(a + 1) - 2| = a$, что упрощается до $|a - 1| = a$.
Так как $a \ge 0$, это уравнение можно решить, рассмотрев два интервала для $a$:
- При $a \ge 1$, уравнение принимает вид $a - 1 = a$, что приводит к неверному равенству $-1 = 0$. В этом диапазоне решений нет.
- При $0 \le a < 1$, уравнение принимает вид $-(a - 1) = a$, откуда $1 - a = a$, $2a = 1$, $a = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le a < 1$.
Таким образом, из этого случая получаем решение $a = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $x = a - 1$
Подставляем в первое уравнение: $|(a - 1) - 2| = a$, что упрощается до $|a - 3| = a$.
Рассмотрим два интервала для $a$:
- При $a \ge 3$, уравнение принимает вид $a - 3 = a$, что приводит к неверному равенству $-3 = 0$. Решений нет.
- При $0 \le a < 3$, уравнение принимает вид $-(a - 3) = a$, откуда $3 - a = a$, $2a = 3$, $a = \frac{3}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le a < 3$.
Таким образом, из этого случая получаем решение $a = \frac{3}{2}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения $a$.
Ответ: $a = \frac{1}{2}; a = \frac{3}{2}$.

б)

Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} |x - 2a + a^2| = a \\ |x - a| = 2 - a \end{cases}$

Так как левые части уравнений являются модулями, они неотрицательны. Следовательно, и правые части должны быть неотрицательны.
Из первого уравнения получаем: $a \ge 0$.
Из второго уравнения получаем: $2 - a \ge 0 \implies a \le 2$.
Объединяя эти условия, делаем вывод, что все искомые значения $a$ должны принадлежать отрезку $[0, 2]$.

Рассмотрим второе уравнение $|x - a| = 2 - a$. Так как мы установили, что $2 - a \ge 0$, мы можем раскрыть модуль:
$x - a = 2 - a$ или $x - a = -(2 - a) = a - 2$.
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x = 2$ или $x = 2a - 2$.

Подставим каждое из этих значений $x$ в первое уравнение $|x - 2a + a^2| = a$.

Случай 1: $x = 2$
$|2 - 2a + a^2| = a$
Рассмотрим выражение под модулем: $a^2 - 2a + 2$. Его можно представить в виде $(a-1)^2 + 1$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(a-1)^2 \ge 0$, то $(a-1)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $a^2 - 2a + 2$ всегда положительно.
Поэтому модуль можно опустить: $a^2 - 2a + 2 = a$.
$a^2 - 3a + 2 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$. Оба значения принадлежат отрезку $[0, 2]$, значит, являются решениями.

Случай 2: $x = 2a - 2$
$|(2a - 2) - 2a + a^2| = a$
$|a^2 - 2| = a$
Раскроем модуль, учитывая, что $a \in [0, 2]$.
- Если $a^2 - 2 \ge 0$, т.е. $a^2 \ge 2$. Учитывая $a \ge 0$, получаем $a \ge \sqrt{2}$. В этом случае уравнение принимает вид $a^2 - 2 = a \implies a^2 - a - 2 = 0$. Корни этого уравнения $a = 2$ и $a = -1$. Условию $a \ge \sqrt{2}$ и $a \in [0, 2]$ удовлетворяет только $a = 2$.
- Если $a^2 - 2 < 0$, т.е. $0 \le a < \sqrt{2}$. В этом случае уравнение принимает вид $-(a^2 - 2) = a \implies a^2 + a - 2 = 0$. Корни этого уравнения $a = 1$ и $a = -2$. Условию $0 \le a < \sqrt{2}$ удовлетворяет только $a = 1$.
В этом случае мы также получили решения $a=1$ и $a=2$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговый набор значений.
Ответ: $a = 1; a = 2$.