Номер 5.11, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.11. a) $|\sqrt{51} - 7| + |\sqrt{51} - 5\sqrt{3}| + |\sqrt{75} - 11|;$

б) $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - 2\sqrt{2}| + |2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}| + \ldots + |5\sqrt{2} - 6\sqrt{2}| + |6\sqrt{2} - 9|;$

в) $|1 - \sqrt{37}| + |2 - \sqrt{37}| + |3 - \sqrt{37}| + \ldots + |6 - \sqrt{37}| + 6 \cdot |7 - \sqrt{37}|;$

г) $|1 - \sqrt{137}| + |2 - \sqrt{137}| + |3 - \sqrt{137}| + \ldots + |11 - \sqrt{137}| + 11 \cdot |\sqrt{137} - 12|.$

Для решения этого примера раскроем каждый модуль по определению: $|x| = x$, если $x \geq 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$. Для этого нам нужно сравнить числа под знаком модуля.

1. Сравним $\sqrt{51}$ и $7$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{51})^2 = 51$ и $7^2 = 49$.
Поскольку $51 > 49$, то $\sqrt{51} > 7$.
Следовательно, выражение $\sqrt{51} - 7$ положительно, и $|\sqrt{51} - 7| = \sqrt{51} - 7$.

2. Сравним $\sqrt{51}$ и $5\sqrt{3}$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{51})^2 = 51$ и $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.
Поскольку $51 < 75$, то $\sqrt{51} < 5\sqrt{3}$.
Следовательно, выражение $\sqrt{51} - 5\sqrt{3}$ отрицательно, и $|\sqrt{51} - 5\sqrt{3}| = -(\sqrt{51} - 5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - \sqrt{51}$.

3. Сравним $\sqrt{75}$ и $11$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{75})^2 = 75$ и $11^2 = 121$.
Поскольку $75 < 121$, то $\sqrt{75} < 11$.
Следовательно, выражение $\sqrt{75} - 11$ отрицательно, и $|\sqrt{75} - 11| = -( \sqrt{75} - 11) = 11 - \sqrt{75}$. Заметим, что $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Таким образом, $|\sqrt{75} - 11| = 11 - 5\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные выражения:
$(\sqrt{51} - 7) + (5\sqrt{3} - \sqrt{51}) + (11 - 5\sqrt{3}) = \sqrt{51} - 7 + 5\sqrt{3} - \sqrt{51} + 11 - 5\sqrt{3}$.
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(\sqrt{51} - \sqrt{51}) + (5\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) + (11 - 7) = 0 + 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4

Раскроем каждый модуль в выражении $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - 2\sqrt{2}| + |2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}| + ... + |5\sqrt{2} - 6\sqrt{2}| + |6\sqrt{2} - 9|$.
Полная сумма выглядит так: $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - 2\sqrt{2}| + |2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}| + |3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}| + |4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}| + |5\sqrt{2} - 6\sqrt{2}| + |6\sqrt{2} - 9|$.

1. $|1 - \sqrt{2}|$: так как $1 < \sqrt{2}$ (поскольку $1^2=1$ а $(\sqrt{2})^2=2$), то $1 - \sqrt{2} < 0$. Значит, $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$.

2. $|\sqrt{2} - 2\sqrt{2}|$: выражение под модулем равно $-\sqrt{2}$, поэтому $|\sqrt{2} - 2\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.

3. Аналогично, для следующих четырех слагаемых:
$|2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
$|3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
$|4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.
$|5\sqrt{2} - 6\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.

4. $|6\sqrt{2} - 9|$: сравним $6\sqrt{2}$ и $9$.
Возведем в квадрат: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$ и $9^2 = 81$.
Так как $72 < 81$, то $6\sqrt{2} < 9$, и $6\sqrt{2} - 9 < 0$.
Следовательно, $|6\sqrt{2} - 9| = -(6\sqrt{2} - 9) = 9 - 6\sqrt{2}$.

Сложим все полученные значения:
$(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + (9 - 6\sqrt{2})$.
Это равно $(\sqrt{2} - 1) + 5\sqrt{2} + (9 - 6\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 + 5\sqrt{2} + 9 - 6\sqrt{2}$.
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (-1 + 9) = 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 8 = 8$.

Ответ: 8

Рассмотрим сумму $|1 - \sqrt{37}| + |2 - \sqrt{37}| + |3 - \sqrt{37}| + ... + |6 - \sqrt{37}| + 6 \cdot |7 - \sqrt{37}|$.

1. Оценим значение $\sqrt{37}$.
Так как $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, то $6 < \sqrt{37} < 7$.

2. Раскроем модули в сумме $\sum_{k=1}^{6} |k - \sqrt{37}|$.
Для каждого $k$ от 1 до 6, $k \le 6 < \sqrt{37}$, поэтому $k - \sqrt{37} < 0$.
Следовательно, $|k - \sqrt{37}| = - (k - \sqrt{37}) = \sqrt{37} - k$.
Сумма первых шести слагаемых равна:
$(\sqrt{37} - 1) + (\sqrt{37} - 2) + (\sqrt{37} - 3) + (\sqrt{37} - 4) + (\sqrt{37} - 5) + (\sqrt{37} - 6)$.
Сгруппировав слагаемые, получим: $6\sqrt{37} - (1+2+3+4+5+6)$.
Сумма первых 6 натуральных чисел равна $\frac{6(6+1)}{2} = 21$.
Таким образом, сумма первых шести слагаемых равна $6\sqrt{37} - 21$.

3. Раскроем последний член выражения: $6 \cdot |7 - \sqrt{37}|$.
Так как $7 > \sqrt{37}$, то $7 - \sqrt{37} > 0$.
Следовательно, $|7 - \sqrt{37}| = 7 - \sqrt{37}$.
Последний член равен $6 \cdot (7 - \sqrt{37}) = 42 - 6\sqrt{37}$.

4. Найдем итоговую сумму:
$(6\sqrt{37} - 21) + (42 - 6\sqrt{37}) = 6\sqrt{37} - 21 + 42 - 6\sqrt{37} = (-21 + 42) + (6\sqrt{37} - 6\sqrt{37}) = 21$.

Ответ: 21

Рассмотрим сумму $|1 - \sqrt{137}| + |2 - \sqrt{137}| + ... + |11 - \sqrt{137}| + 11 \cdot |\sqrt{137} - 12|$.

1. Оценим значение $\sqrt{137}$.
Так как $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, то $11 < \sqrt{137} < 12$.

2. Раскроем модули в сумме $\sum_{k=1}^{11} |k - \sqrt{137}|$.
Для каждого $k$ от 1 до 11, $k \le 11 < \sqrt{137}$, поэтому $k - \sqrt{137} < 0$.
Следовательно, $|k - \sqrt{137}| = - (k - \sqrt{137}) = \sqrt{137} - k$.
Сумма первых одиннадцати слагаемых равна:
$(\sqrt{137} - 1) + (\sqrt{137} - 2) + ... + (\sqrt{137} - 11)$.
Сгруппировав слагаемые, получим: $11\sqrt{137} - (1+2+...+11)$.
Сумма первых 11 натуральных чисел равна $\frac{11(11+1)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.
Таким образом, сумма первых одиннадцати слагаемых равна $11\sqrt{137} - 66$.

3. Раскроем последний член выражения: $11 \cdot |\sqrt{137} - 12|$.
Так как $\sqrt{137} < 12$, то $\sqrt{137} - 12 < 0$.
Следовательно, $|\sqrt{137} - 12| = -(\sqrt{137} - 12) = 12 - \sqrt{137}$.
Последний член равен $11 \cdot (12 - \sqrt{137}) = 132 - 11\sqrt{137}$.

4. Найдем итоговую сумму:
$(11\sqrt{137} - 66) + (132 - 11\sqrt{137}) = 11\sqrt{137} - 66 + 132 - 11\sqrt{137} = (-66 + 132) + (11\sqrt{137} - 11\sqrt{137}) = 66$.

Ответ: 66