Номер 2, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что такое индуктивный метод рассуждений?

Индуктивный метод рассуждений (от лат. inductio — «наведение») — это способ логического умозаключения, при котором общий вывод делается на основе анализа частных случаев, наблюдений или фактов. Иными словами, это переход в рассуждениях от частного к общему. Индукция позволяет генерировать гипотезы и теории, но ее выводы, за исключением случаев полной индукции, носят вероятностный, а не абсолютно достоверный характер.

В отличие от дедукции, где из общих правил выводятся частные следствия (например, «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен»), индукция движется в обратном направлении.

Виды индукции

Различают два основных вида индукции:

• Полная индукция — это метод, при котором общий вывод делается после изучения всех без исключения объектов данного класса. Выводы полной индукции являются достоверными. Однако ее применение ограничено ситуациями с конечным и обозримым числом элементов.
  Пример: Чтобы утверждать, что «каждый месяц в году имеет не более 31 дня», можно проверить все 12 месяцев. Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи, вывод является абсолютно верным.
• Неполная индукция — это метод, при котором общий вывод о всем классе объектов делается на основе изучения лишь некоторой части этих объектов. Это наиболее распространенный вид индукции в науке и повседневной жизни. Ее выводы всегда носят вероятностный характер.
  Пример: Наблюдая, что лебеди, встреченные в Европе, белые, можно сделать индуктивный вывод: «Все лебеди белые». Однако этот вывод оказался ложным, когда в Австралии были обнаружены черные лебеди. Это иллюстрирует главную проблему неполной индукции: всегда существует вероятность встретить контрпример, который опровергнет общую гипотезу.

Метод математической индукции

В математике используется особый, строгий вид индуктивного рассуждения — метод математической индукции. Он применяется для доказательства истинности некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Этот метод, в отличие от неполной индукции, дает абсолютно достоверные результаты.

Доказательство по методу математической индукции состоит из двух шагов:

1. База индукции: Проверяется истинность утверждения для начального значения, обычно для $n=1$.
2. Индукционный переход (шаг): Доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$ (это называется индукционным предположением), то оно будет верно и для следующего числа $n=k+1$.

Если оба шага успешно выполнены, то на основании аксиомы индукции делается вывод, что утверждение истинно для всех натуральных чисел $n$.

Пример: Докажем, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$. То есть, $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$.

• База индукции ($n=1$):
  Сумма первого нечетного числа — это $1$. По формуле получаем $1^2 = 1$. Утверждение верно.
• Индукционный переход:
  Предположение (для $n=k$): Пусть формула верна для некоторого натурального $k$, то есть $1 + 3 + \dots + (2k-1) = k^2$.
  Доказательство (для $n=k+1$): Нужно доказать, что $1 + 3 + \dots + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$.
  Рассмотрим левую часть равенства:
  $\underbrace{1 + 3 + \dots + (2k-1)}_{\text{используем предположение}} + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+2-1) = k^2 + 2k + 1$.
  Мы знаем, что $k^2 + 2k + 1$ — это формула полного квадрата, равная $(k+1)^2$.
  Таким образом, мы показали, что из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$.

Поскольку база индукции и индукционный переход доказаны, утверждение $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ истинно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Индуктивный метод рассуждений — это способ получения общего вывода на основе частных посылок (наблюдений, фактов, экспериментов). Этот метод является ключевым для формирования гипотез в науке, но его выводы (кроме случаев полной и математической индукции) являются вероятностными, а не абсолютно достоверными, так как они основаны на обобщении ограниченного опыта.