Номер 4, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами на разных участках (интервалах) своей области определения. Аналитическое задание такой функции представляет собой запись этих формул с указанием соответствующих им интервалов для аргумента.

Это делается с помощью фигурной скобки, которая объединяет несколько строк. В каждой строке записывается формула (ветвь функции) и условие, при котором эта формула применяется.

Пример 1: Функция модуля (абсолютной величины)

Один из самых известных примеров кусочной функции — это модуль числа $x$. Функция $y = |x|$ определяется по-разному для неотрицательных и отрицательных значений $x$.

Ее аналитическое задание выглядит так:

$y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Здесь область определения $(-\infty; +\infty)$ разделена на два интервала: $[0; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$. На первом интервале функция совпадает с прямой $y=x$, а на втором — с прямой $y=-x$.

Пример 2: Функция, состоящая из трех частей

Можно задать функцию, состоящую из большего количества "кусочков". Рассмотрим функцию, которая на разных участках числовой оси задается параболой, константой и прямой линией.

Пусть функция $f(x)$ определена следующим образом:

• На интервале $(-\infty; 0)$ она задается формулой $x^2 + 1$ (часть параболы).
• В точке $x=0$ ее значение равно $0$.
• На интервале $(0; +\infty)$ она задается формулой $-2x+1$ (прямая линия).

Аналитическое задание этой функции будет иметь вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -2x + 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Чтобы найти значение функции для конкретного аргумента, нужно сначала определить, какому интервалу он принадлежит, а затем использовать соответствующую формулу. Например, $f(-3) = (-3)^2 + 1 = 10$, а $f(2) = -2(2) + 1 = -3$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ 5, & \text{если } x = 1 \\ x+1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$