Номер 10, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Как по графику функции найти область её значений? Приведите пример.

Область значений функции (обозначается как $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ для всех $x$ из области определения. Чтобы найти область значений функции по её графику, необходимо определить, какой диапазон значений на оси ординат (оси $OY$) "покрывает" график функции.

Это делается путем мысленной проекции всех точек графика на ось $OY$. Иными словами, нужно определить самую низкую и самую высокую точки, которых достигает график. Множество всех значений $y$ между этими двумя крайними точками (включительно) и будет являться областью значений.

Алгоритм нахождения области значений по графику:

1. Определить самую нижнюю точку графика. Ордината (координата по оси $y$) этой точки является минимальным значением функции, $y_{min}$. Если график уходит вниз в бесконечность, то минимального значения у функции нет.
2. Определить самую верхнюю точку графика. Ордината этой точки является максимальным значением функции, $y_{max}$. Если график уходит вверх в бесконечность, то максимального значения у функции нет.
3. Записать полученное множество значений $y$ в виде числового промежутка.

• Если существуют и $y_{min}$, и $y_{max}$, то область значений — это отрезок $[y_{min}; y_{max}]$.
• Если существует только $y_{min}$, а вверх график уходит в бесконечность, то область значений — это луч $[y_{min}; +\infty)$.
• Если существует только $y_{max}$, а вниз график уходит в бесконечность, то область значений — это луч $(-\infty; y_{max}]$.
• Если график уходит и в плюс, и в минус бесконечность, то область значений — вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Чтобы найти область значений функции по графику, необходимо спроецировать его на ось ординат ($OY$) и определить интервал, который эта проекция занимает. Этот интервал, который включает все значения $y$ от минимального до максимального (если они существуют), и является областью значений функции.

Пример

Рассмотрим график функции $y = -x^2 + 2x + 3$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$). Это означает, что функция имеет максимальное значение, но не имеет минимального (её ветви уходят в $-\infty$).

Максимальное значение функции достигается в её вершине. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется по формуле: $x_v = - \frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=2$, следовательно:
$x_v = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1$.

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив $x_v = 1$ в уравнение функции. Это и будет максимальное значение функции:

$y_v = y_{max} = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Итак, самая верхняя точка графика имеет координаты $(1, 4)$. Максимальное значение функции равно 4. Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, минимального значения не существует. Проекция графика на ось $OY$ представляет собой луч, идущий из точки $y=4$ вниз в бесконечность.

Ответ: Область значений данной функции — промежуток $(-\infty; 4]$, то есть $E(y) = (-\infty; 4]$.