Номер 16, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию с одной точкой разрыва, областью определения которой является полуинтервал $(0; 9]$ и график которой состоит из части гиперболы и части графика функции $y = \sqrt{x}$. Задайте эту функцию аналитически.

Для того чтобы сконструировать функцию, удовлетворяющую заданным условиям, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Выбор точки разрыва

Функция должна иметь одну точку разрыва на своей области определения, которая является полуинтервалом $(0; 9]$. Выберем любую точку внутри этого интервала в качестве точки разрыва. Пусть это будет точка $x_0 = 4$. Эта точка разделит область определения на два промежутка: $(0; 4)$ и $[4; 9]$.

2. Определение частей функции

По условию, график функции должен состоять из части гиперболы и части графика функции $y = \sqrt{x}$. Мы можем распределить эти две части по двум полученным промежуткам. Возьмем следующий вариант:

• На промежутке $(0; 4)$ функция будет задана уравнением гиперболы.
• На промежутке $[4; 9]$ функция будет задана уравнением $y = \sqrt{x}$.

В качестве гиперболы выберем простейший ее вид: $y = \frac{k}{x}$. Вертикальная асимптота этой гиперболы находится в точке $x=0$, которая не принадлежит промежутку $(0; 4)$, поэтому функция $y = \frac{k}{x}$ будет непрерывна на всем этом промежутке.

Таким образом, наша кусочно-заданная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 4 \le x \le 9 \end{cases}$

3. Создание разрыва

Чтобы в точке $x = 4$ существовал разрыв, значение функции в этой точке не должно быть равно одностороннему пределу (в данном случае левостороннему). Такой тип разрыва называется разрывом первого рода (скачок).

Найдем значение функции в точке $x = 4$. Согласно нашему определению, $f(x) = \sqrt{x}$ при $x=4$.

$f(4) = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем левосторонний предел функции в точке $x = 4$. При $x \to 4^-$, значения $x$ находятся в интервале $(0; 4)$, где $f(x) = \frac{k}{x}$.

$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{k}{x} = \frac{k}{4}$

Условие разрыва в точке $x=4$ выглядит как $\lim_{x \to 4^-} f(x) \neq f(4)$. Подставим найденные значения:

$\frac{k}{4} \neq 2$

Это неравенство выполняется для любого $k$, кроме $k = 8$.

4. Итоговая функция

Мы можем выбрать любое значение коэффициента $k$, удовлетворяющее условию $k \neq 8$. Для простоты выберем $k = 1$.

При $k=1$ левосторонний предел равен $\frac{1}{4}$, а значение функции в точке равно $2$. Поскольку $\frac{1}{4} \neq 2$, в точке $x=4$ имеется разрыв. На интервалах $(0; 4)$ и $(4; 9]$ функция непрерывна. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Запишем итоговую функцию аналитически.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } 0 < x < 4 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 4 \le x \le 9 \end{cases}$