Номер 4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Как, глядя на график функции, установить, является ли она:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу, необходимо определить, можно ли провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график функции находился над ней (или на ней). Если такая прямая существует, то функция является ограниченной снизу.

С точки зрения математики, функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Уравнение $y=m$ как раз и задает ту самую горизонтальную прямую, ниже которой график не опускается.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если существует горизонтальная прямая, ниже которой нет ни одной точки графика.

б) ограниченной сверху

Чтобы по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху, необходимо определить, можно ли провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график функции находился под ней (или на ней). Если такую прямую провести можно, то функция является ограниченной сверху.

С точки зрения математики, функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Уравнение $y=M$ задает горизонтальную прямую, выше которой график не поднимается.

Ответ: Функция является ограниченной сверху, если существует горизонтальная прямая, выше которой нет ни одной точки графика.

в) ограниченной

Функция называется ограниченной (или просто ограниченной), если она ограничена и снизу, и сверху одновременно. Глядя на график, это означает, что он не уходит бесконечно ни вверх, ни вниз, а целиком располагается в некоторой горизонтальной полосе.

Таким образом, чтобы установить, что функция является ограниченной, нужно определить, можно ли найти две горизонтальные прямые, между которыми будет полностью заключен весь её график. Математически это означает, что существуют числа $m$ и $M$ такие, что для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.

Ответ: Функция является ограниченной, если её график можно полностью заключить в горизонтальную полосу между двумя прямыми.