Номер 9, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наименьшего значения.

Для выполнения условий задачи нам нужна функция, значения которой подходят сколь угодно близко к некоторой нижней границе, но никогда её не достигают. Такое поведение можно продемонстрировать на примере непрерывной функции, заданной на открытом интервале.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = x$ на промежутке $x \in (0, 1)$.

Графическое представление и ограниченность снизу

Графиком данной функции является отрезок прямой линии, соединяющий точки с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Так как сам промежуток является открытым, его концы $x=0$ и $x=1$ не входят в область определения, поэтому точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$ на графике изображаются "выколотыми" (пустыми кружками).

Все точки этого графика лежат строго выше оси абсцисс (прямой $y=0$). Это означает, что для любого $x$ из промежутка $(0, 1)$ значение функции $f(x) = x$ положительно. Следовательно, функция ограничена снизу на этом промежутке, например, числом 0. То есть, для любого $x \in (0, 1)$ выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.

Отсутствие наименьшего значения

Наименьшее значение функции на промежутке — это самое маленькое из всех её значений на этом промежутке. В нашем случае, множество значений функции $y=f(x)$ представляет собой открытый интервал $(0, 1)$. Точная нижняя грань этого множества значений равна 0. Однако, значение 0 не достигается ни в одной точке нашего промежутка, так как для этого требовалось бы, чтобы $x=0$, но $0 \notin (0, 1)$.

Можно доказать это от противного: предположим, что наименьшее значение существует и равно $y_{min}$ в некоторой точке $c \in (0, 1)$. Тогда $y_{min} = f(c) = c$. Но мы всегда можем взять точку $c' = c/2$. Так как $c \in (0, 1)$, то и $c' \in (0, 1)$. Значение функции в этой точке $f(c') = c/2$. Очевидно, что $f(c') = c/2 < c = y_{min}$, что противоречит предположению о том, что $y_{min}$ — наименьшее значение. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = x$, заданная на открытом промежутке $(0, 1)$. Ее график — это отрезок прямой с выколотыми концами в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция ограничена снизу (например, числом 0), но не имеет на этом промежутке наименьшего значения, так как ее значения стремятся к 0, но никогда его не достигают.