Номер 13, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Какую функцию называют чётной, нечётной?

чётной?

Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если её область определения симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит) и для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Важным свойством чётной функции является её график: он всегда симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике, то и точка $(-x_0, y_0)$ также лежит на этом графике.

Примеры чётных функций:
- $y = x^2$, $y = x^4$ и любая другая степенная функция с чётным показателем, так как $(-x)^{2n} = x^{2n}$.
- $y = |x|$, так как $|-x| = |x|$.
- $y = \cos(x)$, так как по определению $\cos(-x) = \cos(x)$.
- $y = 5$ (любая константа) - это чётная функция, так как $f(-x) = 5$ и $f(x) = 5$.

Ответ: Чётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и симметричная ей относительно начала координат точка $(-x_0, -y_0)$ также ему принадлежит.

Примеры нечётных функций:
- $y = x$, $y = x^3$ и любая другая степенная функция с нечётным показателем, так как $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$.
- $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$, $y = \cot(x)$, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\tan(-x) = -\tan(x)$ и т.д.
- $y = \frac{1}{x}$, так как $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$.

Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными. Их называют функциями общего вида. Например, функция $y = x+1$. Для неё $f(-x) = -x+1$, что не равно ни $f(x) = x+1$, ни $-f(x) = -x-1$.

Ответ: Нечётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.