Номер 1, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое обратимая функция?

1. Что такое обратимая функция?

Функция $y = f(x)$, определенная на множестве $X$ со множеством значений $Y$, называется обратимой, если она устанавливает взаимно однозначное соответствие (биекцию) между этими множествами. Это означает, что для каждого значения $y$ из множества $Y$ существует ровно одно значение $x$ из множества $X$ такое, что $f(x) = y$.

Ключевое свойство, которым должна обладать функция для обратимости, — это инъективность. Инъективная функция — это функция, у которой разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Формально: если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$. Достаточным условием обратимости для непрерывной функции является её строгая монотонность (она либо строго возрастает, либо строго убывает на всей своей области определения).

Для каждой обратимой функции $y = f(x)$ можно определить обратную функцию, которую обозначают как $y = f^{-1}(x)$. Эта функция выполняет обратное действие: она сопоставляет каждому значению $y$ из множества значений исходной функции тот единственный $x$, для которого выполнялось равенство $y = f(x)$.

Свойства прямой и обратной функций:

• Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Выполняются следующие тождества: $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$.
• Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Пример нахождения обратной функции:
Рассмотрим линейную функцию $f(x) = 2x + 5$.
1. Данная функция является строго возрастающей на всей числовой оси, следовательно, она обратима.
2. Чтобы найти обратную функцию, запишем её в виде $y = 2x + 5$.
3. Теперь наша цель — выразить $x$ через $y$:
$2x = y - 5$
$x = \frac{y-5}{2}$.
4. На последнем шаге традиционно меняют переменные $x$ и $y$ местами, чтобы получить стандартный вид $y = f^{-1}(x)$:
$y = \frac{x-5}{2}$.
Таким образом, для функции $f(x) = 2x + 5$ обратной является функция $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{2}$.

Контрпример:
Функция $f(x) = x^2$ не является обратимой на всей своей области определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Причина в том, что нарушается условие взаимной однозначности. Например, разным аргументам $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ соответствует одно и то же значение функции: $f(-3) = 9$ и $f(3) = 9$.
Однако, если ограничить область определения функции, например, промежутком $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $f(x) = x^2$ будет строго возрастать и станет обратимой. Ее обратной функцией на этом промежутке будет $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Обратимая функция — это функция, которая каждому значению из своей области значений ставит в соответствие ровно один аргумент из области определения. Это свойство (инъективность или взаимная однозначность) позволяет построить для неё обратную функцию $f^{-1}(x)$, которая "возвращает" исходный аргумент по значению функции.