Номер 1, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое числовая окружность?

Определение

Числовая окружность — это окружность, расположенная в декартовой системе координат, с центром в начале координат (точка $(0,0)$) и радиусом, равным единице ($R=1$). Основное назначение числовой окружности — установить наглядное соответствие между действительными числами и точками на этой окружности. Её также называют единичной или тригонометрической окружностью.

Сопоставление чисел и точек

Чтобы каждому действительному числу $t$ поставить в соответствие точку на окружности, используется метод "наматывания" числовой прямой. Представьте, что числовая прямая приложена к окружности в точке $A(1,0)$ так, что ноль на прямой совпадает с этой точкой. Положительная часть оси направлена вверх, а отрицательная — вниз.

• Если "наматывать" положительную часть прямой на окружность, движение будет происходить против часовой стрелки.

• Если "наматывать" отрицательную часть, движение будет по часовой стрелке.

Таким образом, каждое действительное число $t$ "попадает" в некоторую единственную точку $M$ на окружности, которую обозначают $M(t)$. Эта точка получается поворотом начальной точки $A(1,0)$ на угол, равный $t$ радиан.

Свойства и важные точки

Длина единичной окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi R$ и равна $2\pi$. Это приводит к важному свойству периодичности: если к числу $t$ прибавить целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то мы попадем в ту же самую точку: $M(t) = M(t + 2\pi k)$.

Некоторые ключевые точки на окружности:

• Числу $t=0$ соответствует начальная точка $A(1,0)$.

• Числу $t=\frac{\pi}{2}$ соответствует "верхняя" точка $B(0,1)$.

• Числу $t=\pi$ соответствует "левая" точка $C(-1,0)$.

• Числу $t=\frac{3\pi}{2}$ соответствует "нижняя" точка $D(0,-1)$.

• Число $t=2\pi$ соответствует полному обороту и возвращает нас в точку $A(1,0)$.

Связь с тригонометрией

Числовая окружность является фундаментальным инструментом для определения тригонометрических функций. Для любой точки $M(t)$ на окружности с координатами $(x, y)$ эти координаты по определению являются косинусом и синусом числа $t$:

$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Это определение расширяет понятия синуса и косинуса с острых углов прямоугольного треугольника на любые действительные числа. Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$ при такой замене превращается в основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$

Ответ: Числовая окружность — это окружность единичного радиуса с центром в начале координат, которая служит для визуализации соответствия между действительными числами $t$ и точками на окружности $M(t)$. Движение на величину $t$ от начальной точки $(1,0)$ против часовой стрелки (для $t>0$) или по часовой стрелке (для $t<0$) определяет положение точки $M(t)$. Координаты этой точки $(x, y)$ по определению равны $(\cos t, \sin t)$, что делает числовую окружность основой для определения тригонометрических функций для любого числового аргумента.