Номер 3, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Можно ли утверждать, что имеют одинаковые декартовы координаты точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$? точки $\pi$ и $-177\pi$?

Точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, имеют одинаковые декартовы координаты (то есть, представляют собой одну и ту же точку на окружности) тогда и только тогда, когда их углы отличаются на целое число полных оборотов. Математически это условие выражается формулой: $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

точки $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$

Проверим выполнение условия для данной пары углов. Пусть $\alpha_1 = \frac{\pi}{3}$ и $\alpha_2 = -\frac{5\pi}{3}$. Найдем их разность: $ \alpha_1 - \alpha_2 = \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi $. Разность равна $2\pi$, что соответствует условию при $k=1$. Это означает, что угол $-\frac{5\pi}{3}$ получается из угла $\frac{\pi}{3}$ путем одного полного оборота в отрицательном направлении. Следовательно, точки совпадают и их декартовы координаты одинаковы.
Действительно, координаты точки для $\frac{\pi}{3}$ равны $(\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Координаты точки для $-\frac{5\pi}{3}$ равны $(\cos(-\frac{5\pi}{3}), \sin(-\frac{5\pi}{3})) = (\cos(2\pi - \frac{5\pi}{3}), \sin(-\frac{5\pi}{3})) = (\cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: да, можно утверждать, что эти точки имеют одинаковые декартовы координаты.

точки $\pi$ и $-177\pi$

Аналогично проверим условие для углов $\beta_1 = \pi$ и $\beta_2 = -177\pi$. Найдем их разность: $ \beta_1 - \beta_2 = \pi - (-177\pi) = \pi + 177\pi = 178\pi $. Представим полученную разность в виде, кратном $2\pi$: $178\pi = 89 \cdot 2\pi$. Разность является целым кратным $2\pi$ (при $k=89$). Это означает, что углы отличаются на 89 полных оборотов. Следовательно, точки, соответствующие этим углам, также совпадают и имеют одинаковые декартовы координаты.
Действительно, координаты точки для $\pi$ равны $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$.
Угол $-177\pi$ можно представить как $-177\pi = \pi - 178\pi = \pi - 89 \cdot 2\pi$. Это означает, что он соответствует той же точке на единичной окружности, что и угол $\pi$. Координаты точки для $-177\pi$ также равны $(-1, 0)$.

Ответ: да, можно утверждать, что эти точки имеют одинаковые декартовы координаты.