Номер 4, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с абсциссой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

Точки на числовой окружности имеют координаты $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината. Для точки, соответствующей числу $t$, ее координаты равны $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых абсцисса $x = \cos(t)$ принимает заданные значения.

а) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки на числовой окружности равна 0. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = 0$. На единичной окружности абсцисса равна нулю в двух точках: в верхней точке $(0, 1)$ и в нижней точке $(0, -1)$. Верхней точке соответствуют числа вида $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, а нижней — числа вида $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Эти две серии решений можно объединить в одну общую формулу, так как точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полоборот (через $\pi$ радиан). Взяв за основу точку $\frac{\pi}{2}$, мы можем получать все остальные решения, прибавляя к ней целое число полуоборотов. Таким образом, общая формула имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки равна 1. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = 1$. На единичной окружности есть только одна точка с абсциссой 1 — это самая правая точка с координатами $(1, 0)$. Этой точке соответствует число $t = 0$. Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, все решения получаются путем добавления к $0$ целого числа полных оборотов ($2\pi k$). Общая формула для всех таких чисел: $t = 0 + 2\pi k = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Требуется найти все числа $t$, для которых абсцисса точки равна -1. Это эквивалентно решению уравнения $\cos(t) = -1$. На единичной окружности есть только одна точка с абсциссой -1 — это самая левая точка с координатами $(-1, 0)$. Этой точке соответствует число $t = \pi$. Снова, учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), все решения получаются путем добавления к $\pi$ целого числа полных оборотов. Общая формула для всех таких чисел: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.