Номер 1, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое $sin t$? Что такое $cos t$?

Синус ($ \sin t $) и косинус ($ \cos t $) — это основные тригонометрические функции, которые устанавливают связь между углами и сторонами в геометрических фигурах. Аргумент $t$ в этих функциях обычно представляет собой угол, измеряемый в радианах или градусах. Существует несколько способов определения этих функций.

Определение синуса угла $t$ зависит от контекста.

1. Определение через прямоугольный треугольник. Этот метод применяется для острых углов ($0^\circ < t < 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике синус острого угла $t$ равен отношению длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы.
Математически это выражается формулой: $ \sin t = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

2. Определение через единичную окружность. Это более общее определение, которое подходит для любого угла $t$. Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1 (такая окружность называется единичной). Начальная точка движения — $(1,0)$ на оси абсцисс. Чтобы найти синус угла $t$, мы поворачиваем радиус-вектор из начальной точки на угол $t$ против часовой стрелки (для положительных $t$) или по часовой стрелке (для отрицательных $t$). Конечная точка на окружности будет иметь некоторые координаты $(x, y)$. Синусом угла $t$ называется ордината (координата $y$) этой точки.
Математически это выражается формулой: $ \sin t = y $

Таким образом, синус характеризует «вертикальную» координату точки на единичной окружности.

Ответ: Синус угла $t$ — это тригонометрическая функция, которая для острого угла в прямоугольном треугольнике равна отношению противолежащего катета к гипотенузе, а в общем случае — ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $t$.

Косинус угла $t$ определяется аналогично синусу.

1. Определение через прямоугольный треугольник. Для острого угла $t$ в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы.
Математически это выражается формулой: $ \cos t = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

2. Определение через единичную окружность. В той же системе с единичной окружностью, после поворота на угол $t$ и получения точки с координатами $(x, y)$, косинусом угла $t$ называется абсцисса (координата $x$) этой точки.
Математически это выражается формулой: $ \cos t = x $

Таким образом, косинус характеризует «горизонтальную» координату точки на единичной окружности. Координаты любой точки на единичной окружности можно представить как $(\cos t, \sin t)$, где $t$ — угол поворота. Из теоремы Пифагора для этой точки следует основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $.

Ответ: Косинус угла $t$ — это тригонометрическая функция, которая для острого угла в прямоугольном треугольнике равна отношению прилежащего катета к гипотенузе, а в общем случае — абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности, соответствующей углу $t$.