Номер 1, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рис. 50 (с. 98), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите декартовы координаты точек, отмеченных на рис. 50.

Согласно условию, мы размещаем числовую (тригонометрическую) окружность в декартовой системе координат. Центр окружности находится в начале координат (0, 0), а её радиус равен 1 (это единичная окружность). Декартовы координаты $(x, y)$ любой точки на этой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, определяются формулами: $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$.

Поскольку изображение "рис. 50" не предоставлено, найдём координаты для стандартного набора точек, обычно отмечаемых на числовой окружности.

Точка, соответствующая числу 0 (или $2\pi$)
Эта точка лежит на положительной части оси Ox. Координаты: $(\cos(0), \sin(0)) = (1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{\pi}{2}$
Эта точка лежит на положительной части оси Oy. Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, 1)$.
Ответ: $(0, 1)$

Точка, соответствующая числу $\frac{2\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{2\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{3\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{4}), \sin(\frac{3\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{6}), \sin(\frac{5\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\pi$
Эта точка лежит на отрицательной части оси Ox. Координаты: $(\cos(\pi), \sin(\pi)) = (-1, 0)$.
Ответ: $(-1, 0)$

Точка, соответствующая числу $\frac{7\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{7\pi}{6}), \sin(\frac{7\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{4\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{3\pi}{2}$
Эта точка лежит на отрицательной части оси Oy. Координаты: $(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.
Ответ: $(0, -1)$

Точка, соответствующая числу $\frac{5\pi}{3}$
Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{7\pi}{4}$
Координаты: $(\cos(\frac{7\pi}{4}), \sin(\frac{7\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Точка, соответствующая числу $\frac{11\pi}{6}$
Координаты: $(\cos(\frac{11\pi}{6}), \sin(\frac{11\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$