Номер 6, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Даны две функции: $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$, и $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$. Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя? Если обратная функция существует, то задайте ее аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Для того чтобы для функции существовала обратная, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения. Строго монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) каждому значению аргумента $x$ ставит в соответствие уникальное значение функции $y$, и наоборот. Проверим это свойство для каждой из данных функций.

Для какой из них можно найти обратную функцию, а для какой — нельзя?

Рассмотрим функцию $y = x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.
Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси, а значит, и на отрезке $[-2; 2]$. Это можно проверить с помощью производной: $y' = (x^3)' = 3x^2$. Поскольку $3x^2 \ge 0$ для всех $x$, и производная равна нулю только в одной точке ($x=0$), функция строго возрастает. Это значит, что для любых двух различных значений $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[-2; 2]$ значения $y_1 = x_1^3$ и $y_2 = x_2^3$ также будут различны. Следовательно, для этой функции существует обратная.

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.
Эта функция не является строго монотонной на данном отрезке. На промежутке $[-2; 0]$ она убывает, а на промежутке $[0; 2]$ — возрастает. Из-за этого разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, возьмем $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Получим $y_1 = (-2)^2 = 4$ и $y_2 = (2)^2 = 4$. Так как двум разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, она не является взаимно-однозначной, и обратную функцию для нее на данном отрезке найти нельзя.

Ответ: Обратную функцию можно найти для $y = x^3$, $x \in [-2; 2]$. Для функции $y = x^2$, $x \in [-2; 2]$ обратную функцию найти нельзя.

Если обратная функция существует, то задайте её аналитически и постройте на одном чертеже графики прямой и обратной функций.

Обратная функция существует для $y = x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$.

1. Аналитическое задание обратной функции.
Исходная функция: $y = x^3$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$:
$x = \sqrt[3]{y}$
Теперь, по общепринятому правилу, меняем переменные $x$ и $y$ местами, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде:
$y = \sqrt[3]{x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений прямой функции, а область значений обратной функции — с областью определения прямой.
Для прямой функции $y = x^3$ с $x \in [-2; 2]$:
• Область определения $D(f) = [-2; 2]$.
• Область значений $E(f) = [(-2)^3; 2^3] = [-8; 8]$.
Следовательно, для обратной функции $y = \sqrt[3]{x}$:
• Область определения $D(f^{-1}) = [-8; 8]$.
• Область значений $E(f^{-1}) = [-2; 2]$.

2. Построение графиков.
Построим на одном чертеже графики прямой функции $y=x^3$ (для $x \in [-2; 2]$) и обратной ей функции $y=\sqrt[3]{x}$ (для $x \in [-8; 8]$). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция задается аналитически как $y = \sqrt[3]{x}$, с областью определения $x \in [-8; 8]$. Графики прямой и обратной функций построены на чертеже выше.