Номер 1, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое период функции? Что называют периодической функцией?

Что такое период функции?

Число $T$, не равное нулю, называется периодом функции $y = f(x)$, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняются два условия:

1. Числа $(x + T)$ и $(x - T)$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство: $f(x + T) = f(x)$.

Из определения следует, что если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является ее периодом. Например, если $f(x+T) = f(x)$, то и $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Чаще всего под периодом функции понимают её основной (или наименьший положительный) период. Это самое маленькое положительное число $T$, для которого выполняется указанное выше равенство.

Например, для функции $y = \sin(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, -2\pi$ и т.д. Однако её основным периодом является $2\pi$. Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ основной период равен $\pi$.

Ответ: Период функции $f(x)$ — это ненулевое число $T$, такое, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Наименьший положительный такой период называют основным периодом.

Что называют периодической функцией?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое не равное нулю число $T$, что для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство: $f(x + T) = f(x)$.

Это число $T$ называется периодом функции. Важным условием является симметричность области определения относительно сдвига на период: если $x \in D(f)$, то и $(x+T) \in D(f)$, и $(x-T) \in D(f)$.

Графически это свойство означает, что график периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить часть графика на любом промежутке длиной в основной период $T$, например, на отрезке $[x_0, x_0 + T]$, то весь остальной график можно получить, сдвигая этот фрагмент вдоль оси абсцисс на $T, 2T, 3T, \dots$ вправо и влево.

Классическими примерами периодических функций являются тригонометрические функции:

• $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ с основным периодом $2\pi$.
• $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ с основным периодом $\pi$.

Другим примером может служить функция "дробная часть числа" $y = \{x\}$, её основной период равен $1$.

Ответ: Периодической называют функцию, значения которой повторяются через определённый ненулевой интервал (период). То есть, это функция $f(x)$, для которой существует такое число $T \neq 0$, что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.