Номер 10, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наибольшего значения.

Рассмотрим в качестве примера функцию, график которой представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. В качестве конкретной аналитической записи такой функции возьмем $y = -x^2 + 2$ и рассмотрим ее на промежутке (отрезке) $[-2, 2]$.

Графиком данной функции является парабола, которая симметрична относительно оси ординат $Oy$, ее ветви направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами $(0, 2)$.

Ограниченность сверху на промежутке.

На промежутке $[-2, 2]$ мы рассматриваем непрерывную дугу этой параболы. Из вида графика очевидно, что все его точки лежат не выше прямой $y=2$. Это означает, что функция ограничена сверху на данном промежутке. Формально, для любого $x$ из отрезка $[-2, 2]$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, следовательно $-x^2 \le 0$, и $-x^2 + 2 \le 2$. Таким образом, $y(x) \le 2$ для всех $x \in [-2, 2]$.

Достижение наибольшего значения на промежутке.

Самая высокая точка графика на этом промежутке — это вершина параболы, точка $(0, 2)$. Ордината этой точки, равная 2, и есть наибольшее значение функции. Это значение достигается при $x=0$. Так как точка $x=0$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[-2, 2]$, функция достигает на нем своего наибольшего значения.

Таким образом, мы привели пример функции, которая задана графически (парабола с ветвями вниз), ограничена сверху на некотором промежутке и достигает на этом промежутке своего наибольшего значения. Это соответствует теореме Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Ответ: Примером такой функции является $y = -x^2 + 2$ на промежутке $[-2, 2]$. Функция ограничена сверху (например, числом 2) и достигает своего наибольшего значения, равного 2, в точке $x=0$.