Номер 7, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Известно, что у функции есть наибольшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Давайте разберем каждый вопрос по отдельности, основываясь на определениях.

сверху?

Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le C$. Число $C$ называют верхней границей функции.

По условию задачи, у функции есть наибольшее значение. Обозначим его $M$. По определению наибольшего значения, это означает, что для любого $x$ из области определения функции справедливо неравенство $f(x) \le M$.

Сравнивая определение функции, ограниченной сверху, с условием наличия наибольшего значения, мы видим, что они практически совпадают. Если у функции есть наибольшее значение $M$, то это же число $M$ является ее верхней границей ($C=M$). Следовательно, функция обязательно ограничена сверху.

Ответ: Да, если у функции есть наибольшее значение, она всегда является ограниченной сверху.

снизу?

Функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Число $m$ называют нижней границей функции.

Наличие наибольшего значения ничего не говорит о том, есть ли у функции нижняя граница. Функция может принимать сколь угодно малые значения. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$.

• Эта функция имеет наибольшее значение. Оно равно $0$ и достигается в точке $x=0$. Для любого другого $x$, значение функции будет меньше нуля ($f(x) \le 0$).
• Однако эта функция не ограничена снизу. Если мы будем брать $x$ по модулю все больше и больше, значение функции будет стремиться к минус бесконечности ($-\infty$). Например, $f(10) = -100$, $f(-1000) = -1000000$. Не существует такого числа $m$, меньше которого функция не могла бы опуститься.

Таким образом, наличие наибольшего значения не гарантирует, что функция ограничена снизу.

Ответ: Не обязательно. Функция, имеющая наибольшее значение, может быть как ограниченной снизу (например, $f(x) = \sin(x)$), так и не ограниченной снизу (например, $f(x) = -x^2$).