Номер 2, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции.

Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности

Промежутки монотонности функции — это интервалы, на которых функция либо возрастает, либо убывает, либо остается постоянной. Чтобы найти эти промежутки, глядя на график, нужно мысленно двигаться по оси абсцисс (оси $x$) слева направо и следить за поведением графика функции (линии $y=f(x)$).

• Если на некотором промежутке график функции поднимается вверх, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ также увеличиваются. Такой промежуток называется промежутком возрастания функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
• Если на некотором промежутке график функции опускается вниз, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ уменьшаются. Такой промежуток называется промежутком убывания функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• Если на некотором промежутке график функции представляет собой горизонтальную прямую, это означает, что с увеличением $x$ значения $y$ не изменяются. Такой промежуток называется промежутком постоянства функции. Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка $f(x_1) = f(x_2)$.

Точки, в которых характер монотонности меняется (например, возрастание сменяется убыванием), называются точками экстремума (максимума или минимума). Эти точки являются границами промежутков монотонности.

Ответ: Чтобы найти промежутки монотонности, нужно определить интервалы по оси $x$, на которых график функции, рассматриваемый слева направо, идет вверх (возрастание), идет вниз (убывание) или является горизонтальным (постоянство). Границами этих промежутков служат точки экстремумов или точки, в которых меняется характер поведения функции.

Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции

Рассмотрим график следующей кусочной функции $y = f(x)$:

Проанализируем этот график, двигаясь слева направо по оси $x$:

1. На промежутке от $-\infty$ до $x = -3$ график идет вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
2. В точке $x = -3$ происходит смена поведения: функция достигает локального максимума, и возрастание сменяется убыванием.
3. На промежутке от $x = -3$ до $x = 0$ график идет вниз. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
4. На промежутке от $x = 0$ до $x = 2$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Следовательно, на этом промежутке функция постоянна.
5. Начиная с точки $x = 2$ и до $+\infty$ график снова идет вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Граничные точки ($x=-3, x=0, x=2$) по соглашению принято включать в каждый из промежутков, на границе которых они стоят.

Ответ:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$.
• Функция убывает на промежутке $[-3, 0]$.
• Функция постоянна на промежутке $[0, 2]$.