Номер 6, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Известно, что у функции есть наименьшее значение. Является ли она ограниченной снизу? сверху?

Снизу

Да, если у функции есть наименьшее значение, она обязательно является ограниченной снизу.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

В условии задачи дано, что у функции есть наименьшее значение. Обозначим это значение как $y_{наим}$. По определению наименьшего значения, для любого $x$ из области определения функции справедливо неравенство $f(x) \ge y_{наим}$.

Это неравенство в точности соответствует определению ограниченности функции снизу. В качестве нижней границы $m$ выступает само наименьшее значение функции $y_{наим}$.

Ответ: Да, функция является ограниченной снизу.

Сверху

Нет, наличие у функции наименьшего значения не гарантирует, что она будет ограниченной сверху.

По определению, функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Чтобы доказать, что функция не обязательно ограничена сверху, достаточно привести контрпример. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Эта функция имеет наименьшее значение, равное 0, которое достигается в точке $x=0$. Для всех действительных $x$ выполняется $f(x) = x^2 \ge 0$. Однако эта функция не является ограниченной сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими при $x \to \pm\infty$. Не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всем значениям этой функции.

При этом существуют функции, которые имеют наименьшее значение и ограничены сверху, например, $f(x) = \sin(x)$ (наименьшее значение -1, ограничена сверху числом 1). Так как существуют и ограниченные, и неограниченные сверху функции с наименьшим значением, в общем случае сделать вывод об ограниченности сверху нельзя.

Ответ: Нет, не обязательно. Функция, имеющая наименьшее значение, может быть не ограниченной сверху.