Номер 11, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наибольшего значения.

Для того чтобы привести пример функции, которая на некотором промежутке ограничена сверху, но не имеет на нем наибольшего значения, необходимо рассмотреть ситуацию, когда значения функции стремятся к некоторому числу (точная верхняя грань или супремум), но никогда его не достигают. Этого можно достичь, например, если рассмотреть функцию на открытом или полуоткрытом промежутке, либо если функция имеет разрыв в точке, где мог бы достигаться максимум.

Рассмотрим один из простейших примеров — линейную функцию на открытом промежутке.

Пример функции и промежутка

Возьмем функцию $f(x) = 2 - x$ на промежутке $I = (0, 2)$.

Обоснование

Проверим, что данная функция на указанном промежутке удовлетворяет обоим условиям задачи.

1. Ограниченность сверху.
   Для любого значения $x$ из промежутка $(0, 2)$ выполняется неравенство $0 < x < 2$.
   Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $0 > -x > -2$.
   Прибавим ко всем частям число 2: $2 + 0 > 2 - x > 2 - 2$.
   Это равносильно $2 > f(x) > 0$.
   Из этого неравенства видно, что для любого $x \in (0, 2)$ значение функции $f(x)$ строго меньше 2. Следовательно, функция ограничена сверху на данном промежутке. В качестве верхней границы можно взять число $M=2$ (или любое число, большее двух).
2. Отсутствие наибольшего значения.
   Множеством значений функции $f(x) = 2 - x$ на промежутке $(0, 2)$ является промежуток $(0, 2)$. Точная верхняя грань (супремум) этого множества значений равна 2. Однако, это значение не достигается функцией ни в одной точке из промежутка $(0, 2)$.
   Чтобы значение функции было равно 2, необходимо выполнение равенства $f(x) = 2 - x = 2$, что возможно только при $x=0$. Но точка $x=0$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $(0, 2)$.
   Таким образом, значения функции могут быть сколь угодно близки к 2 (например, $f(0.001) = 1.999$), но никогда не будут равны 2. Это означает, что у функции на данном промежутке нет наибольшего значения.

Графическое представление

Поскольку в условии требуется привести пример функции, заданной графически, опишем ее график.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия.

На промежутке $x \in (0, 2)$ ее график представляет собой отрезок этой прямой, концы которого соответствуют концам промежутка:

• При $x \to 0$, $y \to 2$. Конец отрезка стремится к точке $(0, 2)$.
• При $x \to 2$, $y \to 0$. Конец отрезка стремится к точке $(2, 0)$.

Так как промежуток $(0, 2)$ открытый, то есть точки $x=0$ и $x=2$ в него не входят, то и соответствующие точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$ не принадлежат графику. На чертеже такие точки принято обозначать "выколотыми" (пустыми кружочками).

Визуально график представляет собой наклонный отрезок, который расположен строго ниже горизонтальной прямой $y=2$ и строго правее вертикальной оси $y$. Верхняя точка графика "выколота", и график к ней бесконечно приближается, но не достигает ее. Это и есть графическое представление функции, ограниченной сверху, но не имеющей наибольшего значения.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = 2 - x$ на промежутке $(0, 2)$. Ее график — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$, с выколотыми концами. Эта функция на данном промежутке ограничена сверху числом 2, но не имеет наибольшего значения, так как ее значения лишь стремятся к 2, не достигая его.