Номер 12, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Что такое точка максимума? Что такое точка минимума функции?

Что такое точка максимума?

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой максимума (или точкой локального максимума) этой функции, если существует такая проколотая окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, где $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности, принадлежащего области определения функции и не равного $x_0$, выполняется строгое неравенство $f(x) < f(x_0)$.

Простыми словами, точка максимума — это такая точка на оси абсцисс, в которой значение функции больше, чем во всех соседних (бесконечно близких) точках. На графике функции точка максимума выглядит как "вершина холма".

Важно отметить, что это локальное свойство. Функция может иметь несколько точек максимума, и они не обязательно являются точками, где функция достигает своего наибольшего значения на всей области определения (которое называется глобальным максимумом).

Если функция дифференцируема, то необходимым условием для того, чтобы точка $x_0$ была точкой максимума, является равенство нулю ее производной в этой точке: $f'(x_0) = 0$. Достаточным условием является смена знака производной с «+» на «–» при переходе через точку $x_0$.

Ответ: Точка максимума $x_0$ — это такая точка из области определения функции $f(x)$, для которой существует окрестность, где значение функции в точке $x_0$ является наибольшим, то есть $f(x) \le f(x_0)$ для всех $x$ из этой окрестности.

Что такое точка минимума функции?

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой минимума (или точкой локального минимума) этой функции, если существует такая проколотая окрестность точки $x_0$, то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, где $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности, принадлежащего области определения функции и не равного $x_0$, выполняется строгое неравенство $f(x) > f(x_0)$.

Иначе говоря, точка минимума — это такая точка на оси абсцисс, в которой значение функции меньше, чем во всех соседних точках. На графике функции точка минимума выглядит как "дно впадины".