Номер 2, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Приведите пример обратимой функции.

1. Что такое обратимая функция?

Функция $y = f(x)$ называется обратимой, если она принимает каждое своё значение ровно в одной точке области определения. Иными словами, для любого числа $y_0$ из множества значений функции уравнение $f(x) = y_0$ имеет единственный корень. Такое свойство также называют взаимной однозначностью.

Для обратимой функции $f$ можно определить обратную функцию $f^{-1}$, которая каждому значению $y$ из множества значений $f$ ставит в соответствие то единственное значение $x$, для которого $f(x) = y$. Таким образом, выполняется равенство $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.

Достаточным условием обратимости для функции, непрерывной на некотором промежутке, является её строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на этом промежутке.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной — с областью определения исходной: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратимая функция — это функция, которая разным значениям аргумента ставит в соответствие разные значения функции. Для такой функции $y=f(x)$ можно однозначно выразить аргумент $x$ через значение функции $y$, получив обратную функцию $x=f^{-1}(y)$.

2. Приведите пример обратимой функции.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $y = 3x - 6$. Эта функция является обратимой, так как она строго возрастает на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$). Это означает, что каждому значению $y$ соответствует ровно одно значение $x$.

Найдём для неё обратную функцию. Для этого выразим $x$ из уравнения $y = 3x - 6$:

$y + 6 = 3x$

$x = \frac{y+6}{3}$

$x = \frac{1}{3}y + 2$

Поменяв по традиции переменные $x$ и $y$ местами, мы получаем формулу обратной функции в привычном виде: $y = \frac{1}{3}x + 2$.

Другим простым примером обратимой функции является кубическая парабола $y = x^3$. Она также является строго возрастающей на всей числовой оси. Обратная к ней функция — кубический корень $y = \sqrt[3]{x}$.

В отличие от них, функция $y=x^2$ не является обратимой на всей числовой оси, так как, например, значению $y=9$ соответствует два значения $x$: $3$ и $-3$. Она становится обратимой, если ограничить её область определения, например, промежутком $[0; +\infty)$. Тогда обратной к ней будет функция $y=\sqrt{x}$.

Ответ: Примером обратимой функции является $y = 3x - 6$. Обратная к ней функция: $y = \frac{1}{3}x + 2$.