Номер 4, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Для всякой ли функции можно найти обратную?

4.

Нет, не для всякой функции можно найти обратную. Обратная функция существует только для так называемых обратимых или взаимно однозначных (биективных) функций.

Функция $y = f(x)$ называется обратимой, если она каждому значению $y$ из своей области значений $E(f)$ ставит в соответствие единственное значение $x$ из своей области определения $D(f)$. Говоря проще, для обратимости необходимо, чтобы разным значениям аргумента соответствовали разные значения функции. Это свойство называется инъективностью.

Если это условие не выполняется, то функция не является обратимой.

Пример функции, для которой нельзя найти обратную

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2$ с областью определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.Найдем, каким значениям аргумента $x$ соответствует значение функции $y = 4$.

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два различных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Поскольку одному значению функции ($y=4$) соответствуют два разных значения аргумента ($x=2$ и $x=-2$), эта функция не является взаимно однозначной. Если бы мы попытались определить обратную функцию $g(y)$, то чему было бы равно значение $g(4)$? Оно должно было бы быть равно и 2, и -2 одновременно, что противоречит самому определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции.

Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линией: если существует хотя бы одна горизонтальная линия, которая пересекает график функции более чем в одной точке, то функция не имеет обратной на всей своей области определения.

Как сделать функцию обратимой?

Очень часто функцию, не имеющую обратной, можно сделать обратимой, сузив ее область определения. Например, для той же функции $y = x^2$, если мы будем рассматривать ее не на всей числовой оси, а только на промежутке $[0, +\infty)$, то на этом промежутке она будет строго возрастать. Теперь каждому значению $y \ge 0$ соответствует только одно значение $x \ge 0$. Для этой "новой" функции с суженной областью определения обратная функция существует, и это $y = \sqrt{x}$.

Пример обратимой функции

Рассмотрим линейную функцию $y = 3x - 6$. Какое бы значение $y$ мы ни взяли, мы всегда сможем найти единственное соответствующее ему значение $x$:

$3x = y + 6$

$x = \frac{y+6}{3}$

Эта зависимость сама является функцией. Обратная функция существует и имеет вид $g(x) = \frac{x+6}{3}$. Исходная функция $y=3x-6$ является строго монотонной (возрастающей) на всей своей области определения, что является достаточным условием для существования обратной функции.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции, а только для взаимно однозначных (биективных), то есть таких, у которых каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения.