Номер 5, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как, зная график обратимой функции, построить график обратной функции?

Чтобы построить график функции, обратной к данной обратимой функции $y = f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ симметрично отразить относительно прямой $y=x$.

Это правило следует непосредственно из определения обратной функции. Если некоторая точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$, это означает, что при $x=a$ значение функции равно $b$, то есть $b=f(a)$.

Для обратной функции, которую мы можем обозначить как $g(x) = f^{-1}(x)$, по определению должно выполняться равенство $a = g(b)$ или, что то же самое, $a = f^{-1}(b)$. Это означает, что точка с координатами $(b, a)$ принадлежит графику обратной функции.

Таким образом, каждой точке $(a, b)$ на графике исходной функции соответствует точка $(b, a)$ на графике обратной функции. В декартовой системе координат точки с координатами $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Следовательно, и весь график обратной функции является симметричным отражением графика исходной функции относительно этой прямой.

Алгоритм построения графика обратной функции:
1. Построить в системе координат график исходной функции $y=f(x)$.
2. Провести в той же системе координат прямую $y=x$. Эта прямая будет осью симметрии.
3. Выбрать на графике $y=f(x)$ несколько характерных точек (например, точки пересечения с осями, точки экстремума) с координатами $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots$
4. Для каждой из этих точек построить симметричную ей точку относительно прямой $y=x$. Координаты новых точек получатся путем обмена исходных координат местами: $(b_1, a_1), (b_2, a_2), \dots$
5. Соединить полученные новые точки плавной линией, учитывая, что она должна быть "зеркальным отражением" исходного графика. Полученная кривая и будет являться графиком обратной функции $y=f^{-1}(x)$.

Например, показательная функция $y=a^x$ (где $a>0, a \neq 1$) и логарифмическая функция $y=\log_a x$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Точка $(0, 1)$, лежащая на графике $y=a^x$, соответствует точке $(1, 0)$ на графике $y=\log_a x$.

Ответ: График обратной функции строится путем симметричного отражения графика исходной функции относительно прямой, заданной уравнением $y=x$.