Номер 2, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Известно, что $T$ – период функции $y = f(x)$. Можно ли утверждать, что периодом функции является также число $2T$, $-2017T$, $0,5T$?

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $y = f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Из этого определения следует, что если $T$ — период, то $f(x-T) = f(x)$. Это можно показать, подставив $x' = x-T$ в основное равенство: $f(x'+T) = f(x')$, что эквивалентно $f(x) = f(x-T)$.

Рассмотрим каждое число по отдельности.

2T

Чтобы проверить, является ли $2T$ периодом, нужно проверить выполнение равенства $f(x+2T) = f(x)$.
Мы можем представить $f(x+2T)$ как $f((x+T)+T)$.
Поскольку $T$ — период функции, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z+T) = f(z)$.
Возьмем в качестве $z$ выражение $x+T$. Тогда получим:
$f((x+T)+T) = f(x+T)$.
Но мы также знаем, что $f(x+T) = f(x)$, так как $T$ — период.
Объединяя эти равенства, получаем: $f(x+2T) = f(x+T) = f(x)$.
Таким образом, равенство $f(x+2T) = f(x)$ выполняется, и $2T$ является периодом функции.
В общем случае, если $T$ — период, то и любое число вида $kT$, где $k$ — целое ненулевое число, также будет периодом.

Ответ: да, можно.

–2017T

Это частный случай общего правила, упомянутого выше, где $k = -2017$. Так как $-2017$ является целым ненулевым числом, $-2017T$ также является периодом.
Докажем это формально. Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $f(x-2017T)=f(x)$.
Мы знаем, что $f(x-T)=f(x)$. Применяя это свойство 2017 раз, получаем:
$f(x-2017T) = f((x-2016T)-T) = f(x-2016T) = \dots = f(x-T) = f(x)$.
Следовательно, $-2017T$ является периодом функции.

Ответ: да, можно.

0,5T

Утверждать, что $0,5T$ является периодом, в общем случае нельзя. Хотя это может быть правдой для некоторых функций (например, если наименьший положительный период на самом деле равен $0,5T$, а нам в условии дали число $T$, которое в два раза больше), это неверно для всех функций.
Чтобы доказать, что это утверждать нельзя, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\frac{2\pi}{T}x)$. Её наименьший положительный период действительно равен $T$.
Проверим, является ли $0,5T$ периодом для этой функции. Для этого подставим $x+0,5T$ в функцию:
$f(x+0,5T) = \sin\left(\frac{2\pi}{T}(x+0,5T)\right) = \sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \frac{2\pi}{T} \cdot 0,5T\right) = \sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \pi\right)$.
Используя формулу приведения $\sin(\alpha+\pi) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$\sin\left(\frac{2\pi x}{T} + \pi\right) = -\sin\left(\frac{2\pi x}{T}\right) = -f(x)$.
Так как $f(x+0,5T) = -f(x)$, а не $f(x)$ (для всех $x$, где $f(x) \neq 0$), то $0,5T$ не является периодом данной функции.
Поскольку мы нашли функцию, для которой $T$ является периодом, а $0,5T$ — нет, мы не можем утверждать, что $0,5T$ всегда будет периодом.

Ответ: нет, нельзя.