Номер 3, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Что такое обратная функция?

3. Что такое обратная функция?

Обратная функция — это функция, которая "отменяет" или "обращает" действие другой функции. Если исходная функция $f$ сопоставляет элементу $x$ элемент $y$, то обратная ей функция $f^{-1}$ сопоставляет элементу $y$ обратно элемент $x$.

Более строго, пусть дана функция $y = f(x)$ с областью определения $X$ и множеством значений $Y$. Если для каждого значения $y_0$ из множества $Y$ существует только одно значение $x_0$ из множества $X$ такое, что $f(x_0) = y_0$, то можно определить новую функцию, которая каждому $y \in Y$ ставит в соответствие этот единственный $x \in X$. Такая функция называется обратной к функции $y=f(x)$ и обозначается $x = f^{-1}(y)$.

Основные положения и свойства:

• Условие существования: Функция $f(x)$ имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно-однозначна (или биективна). Это значит, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Для числовых функций, непрерывных на некотором промежутке, достаточным условием существования обратной является строгая монотонность (функция либо строго возрастает, либо строго убывает на всей своей области определения).
• Обозначение: Обратная к функции $f(x)$ обозначается как $f^{-1}(x)$. Важно не путать это обозначение со степенью: $f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}$.
• Область определения и множество значений: Область определения обратной функции является множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции является областью определения исходной. Если $D(f)$ — область определения $f$, а $E(f)$ — множество значений $f$, то: $D(f^{-1}) = E(f)$ и $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Тождества: Выполнение последовательно прямой и обратной функции возвращает исходный аргумент:
  • $f(f^{-1}(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f^{-1}$.
  • $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения $f$.
• Графики: Графики прямой функции $y = f(x)$ и обратной ей $y = f^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$. Это происходит потому, что для каждой точки $(a, b)$ на графике $f(x)$ соответствующая точка $(b, a)$ лежит на графике $f^{-1}(x)$.

Алгоритм нахождения обратной функции для $y=f(x)$:

1. Убедиться, что функция $f(x)$ является обратимой на своей области определения (например, проверив ее на строгую монотонность).
2. В равенстве $y=f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Вы получите формулу вида $x = g(y)$.
3. В полученной формуле $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$. В результате получится запись $y = g(x)$, которая и задает обратную функцию $y = f^{-1}(x)$.

Пример нахождения обратной функции:

Найти функцию, обратную к функции $y = \frac{2x}{x-1}$.

1. Область определения исходной функции $D(f): x-1 \neq 0 \implies x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. На каждом из этих интервалов функция строго монотонна (убывает), поэтому обратная функция существует.

2. Выразим $x$ через $y$:
$y(x-1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$yx - 2x = y$
$x(y-2) = y$
$x = \frac{y}{y-2}$

3. Меняем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{x}{x-2}$

Таким образом, обратная функция имеет вид $f^{-1}(x) = \frac{x}{x-2}$. Область ее определения $D(f^{-1}): x \neq 2$, что совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.

Ответ: Обратная функция $f^{-1}$ для функции $f$ — это такая функция, которая сопоставляет каждому элементу $y$ из множества значений $f$ единственный элемент $x$ из области определения $f$, для которого выполняется равенство $f(x)=y$. Существует только для взаимно-однозначных (биективных) функций. График обратной функции симметричен графику исходной относительно прямой $y=x$. Область определения и множество значений исходной и обратной функций "меняются местами".