Номер 14, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Числовое множество $X$ называют симметричным (относительно нуля), если для любого числа $x$, принадлежащего этому множеству, противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому множеству.

Формально, это условие можно записать с помощью квантора всеобщности:
Множество $X \subset \mathbb{R}$ является симметричным, если выполняется условие: $\forall x \in X \implies -x \in X$.

Геометрически на числовой прямой это означает, что множество симметрично относительно точки $0$ (начала координат). Если точка принадлежит множеству, то и точка, находящаяся на том же расстоянии от нуля, но с противоположной стороны, тоже ему принадлежит.

Примеры симметричных множеств:
- Интервал $(-a, a)$ или отрезок $[-a, a]$ для любого положительного числа $a$. Например, множество $(-3, 3)$. Если мы возьмем любое число из этого интервала, например, $x = 2.5$, то противоположное ему число $-x = -2.5$ также будет находиться в этом интервале.
- Вся числовая прямая $\mathbb{R}$.
- Множество целых чисел $\mathbb{Z}$.
- Дискретное множество, состоящее из пар противоположных чисел, например, $\{-5, -2, 2, 5\}$. Ноль также может входить в такое множество: $\{-10, -1, 0, 1, 10\}$.
- Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Примеры несимметричных множеств:
- Промежуток $[0, 5)$. Число $4$ принадлежит этому множеству, а $-4$ — нет.
- Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.
- Множество $\{-2, -1, 1\}$. Число $-2$ входит в множество, а $2$ — нет.

Понятие симметричного множества является фундаментальным при изучении свойств функций, в частности, при определении четных и нечетных функций. Область определения таких функций обязательно должна быть симметричным множеством, так как для их определения требуется сравнивать значения функции в точках $x$ и $-x$.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если вместе с каждым своим элементом $x$ оно содержит и противоположный ему элемент $-x$.