Номер 8, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения.

Для выполнения условия задачи необходимо привести пример функции, для которой на заданном промежутке существует такое число m, что все значения функции на этом промежутке больше или равны m (это условие ограниченности снизу), и при этом существует такая точка c из этого промежутка, в которой функция принимает это наименьшее значение, то есть $f(c) = m$.

В качестве такого примера идеально подходит квадратичная функция $f(x) = x^2$, рассмотренная на любом отрезке, содержащем её вершину, например, на отрезке $X = [-2, 2]$.

• Ограниченность снизу: На отрезке $X = [-2, 2]$ для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $f(x) = x^2 \ge 0$. Это означает, что функция ограничена снизу, например, числом 0.
• Достижение наименьшего значения: Наименьшее значение функции на данном отрезке равно 0. Функция принимает это значение в точке $x_0 = 0$, которая принадлежит отрезку $[-2, 2]$. Таким образом, $y_{наим} = f(0) = 0^2 = 0$.

Графически эта функция на указанном промежутке представляет собой участок параболы с вершиной в начале координат.

На графике показана функция $f(x) = x^2$. Рассматривается её поведение на отрезке $x \in [-2, 2]$. Вершина параболы в точке $(0, 0)$ является точкой минимума на этом отрезке. Так как все значения функции на отрезке неотрицательны ($f(x) \geq 0$), функция ограничена снизу.

Ответ: Примером функции, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения, является функция $f(x) = x^2$ на отрезке $[-2, 2]$. Эта функция ограничена снизу числом 0 и достигает своего наименьшего значения $y_{наим} = 0$ в точке $x = 0$, которая принадлежит данному отрезку.