Номер 5, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Дайте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на некотором промежутке из области определения функции.

Наименьшее значение функции
Пусть функция $y=f(x)$ определена на некотором промежутке $I$, который является подмножеством ее области определения $D(f)$, то есть $I \subset D(f)$.
Число $m$ называется наименьшим значением функции $f(x)$ на промежутке $I$, если одновременно выполняются два условия:
1. Существует такая точка $x_0$ из промежутка $I$ ($x_0 \in I$), что значение функции в этой точке равно $m$, то есть $f(x_0) = m$.
2. Для любого значения аргумента $x$ из промежутка $I$ ($x \in I$) значение функции $f(x)$ не меньше, чем $m$, то есть выполняется неравенство $f(x) \ge m$.
Таким образом, наименьшее значение — это такое значение, которое функция реально принимает в некоторой точке заданного промежутка, и оно является самым маленьким среди всех значений функции на этом промежутке. Наименьшее значение функции обозначают как $y_{наим}$ или $\min_{x \in I} f(x)$.

Ответ: Наименьшее значение функции на промежутке — это самое маленькое из всех значений, которое функция принимает хотя бы в одной точке данного промежутка.

Наибольшее значение функции
Пусть функция $y=f(x)$ определена на некотором промежутке $I$, который является подмножеством ее области определения $D(f)$, то есть $I \subset D(f)$.
Число $M$ называется наибольшим значением функции $f(x)$ на промежутке $I$, если одновременно выполняются два условия:
1. Существует такая точка $x_0$ из промежутка $I$ ($x_0 \in I$), что значение функции в этой точке равно $M$, то есть $f(x_0) = M$.
2. Для любого значения аргумента $x$ из промежутка $I$ ($x \in I$) значение функции $f(x)$ не больше, чем $M$, то есть выполняется неравенство $f(x) \le M$.
Таким образом, наибольшее значение — это такое значение, которое функция реально принимает в некоторой точке заданного промежутка, и оно является самым большим среди всех значений функции на этом промежутке. Наибольшее значение функции обозначают как $y_{наиб}$ или $\max_{x \in I} f(x)$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке — это самое большое из всех значений, которое функция принимает хотя бы в одной точке данного промежутка.