Номер 15, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15. Придумайте кусочно заданную непрерывную функцию, областью определения которой является отрезок $ [-2; 4] $ и график которой состоит из части параболы и отрезка прямой. Задайте эту функцию аналитически.

Для решения задачи необходимо определить кусочно-заданную функцию на отрезке $[-2; 4]$, которая будет непрерывной и будет состоять из части параболы и отрезка прямой. Для этого разделим область определения на два интервала в точке «сшивки». Выберем в качестве такой точки $x_0 = 1$.

Пусть на отрезке $[-2; 1]$ функция задается уравнением простой параболы $y = x^2$. Чтобы обеспечить непрерывность, нам нужно знать значение этой функции в точке $x_0 = 1$. Вычисляем: $y(1) = 1^2 = 1$. Таким образом, точка соединения двух частей графика имеет координаты $(1; 1)$.

Теперь на интервале $(1; 4]$ определим линейную функцию $y = kx + b$. Условие непрерывности требует, чтобы значение этой функции при $x$, стремящемся к $1$, было равно $1$. То есть, график прямой должен «приходить» в точку $(1; 1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой: $1 = k \cdot 1 + b$, что дает нам соотношение $k + b = 1$. Существует бесконечно много пар $(k, b)$, удовлетворяющих этому условию. Выберем для простоты $k = 2$. Тогда $2 + b = 1$, откуда находим $b = -1$. Следовательно, уравнение прямой $y = 2x - 1$.

Собирая все вместе, мы получаем искомую кусочно-заданную функцию. Она состоит из части параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2; 1]$ и отрезка прямой $y=2x-1$ на интервале $(1; 4]$. Функция непрерывна в точке $x=1$, так как значения обеих частей в этой точке совпадают. Аналитически эта функция записывается так:

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases} $$

Ответ: Одним из возможных примеров функции, удовлетворяющей условиям, является:$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } 1 < x \le 4 \end{cases} $$