Номер 8, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Что такое целая часть числа? Найдите $[2,73]$, $[-8,04]$, $[\sqrt{5}]$, $[-2\pi]$.

Что такое целая часть числа?
Целой частью действительного числа $x$, также известной как функция «антье» или «пол» (floor), называется наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Целая часть числа $x$ обозначается как $[x]$ или $\lfloor x \rfloor$.
Формально, для любого действительного числа $x$, его целая часть $[x]$ является единственным целым числом, удовлетворяющим двойному неравенству:
$ [x] \le x < [x] + 1 $

[2,73]
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее 2,73. На числовой прямой это число находится между 2 и 3. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 2,73, — это 2.
Проверка по определению: $2 \le 2,73 < 2 + 1$, то есть $2 \le 2,73 < 3$. Неравенство верное.
Ответ: $[2,73] = 2$

[-8,04]
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее -8,04. Важно помнить, что для отрицательных чисел округление происходит в меньшую сторону (влево по числовой оси). Число -8,04 находится между -9 и -8. Наибольшее целое число, которое не превосходит -8,04, это -9, так как $-9 < -8,04$, а $-8 > -8,04$.
Проверка по определению: $-9 \le -8,04 < -9 + 1$, то есть $-9 \le -8,04 < -8$. Неравенство верное.
Ответ: $[-8,04] = -9$

[v5]
Сначала необходимо оценить значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 5 < 9$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, значение $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3 (приблизительно 2,236).
Наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{5}$, — это 2.
Проверка по определению: $2 \le \sqrt{5} < 2 + 1$, то есть $2 \le \sqrt{5} < 3$. Неравенство верное.
Ответ: $[\sqrt{5}] = 2$

[-2?]
Сначала необходимо оценить значение $-2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:
$-2\pi \approx -2 \times 3,14159 = -6,28318$
Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее $-2\pi$ (приблизительно -6,28318). Это число находится на числовой прямой между -7 и -6. Наибольшее целое число, которое не превосходит $-2\pi$, — это -7.
Проверка по определению: $-7 \le -2\pi < -7 + 1$, то есть $-7 \le -2\pi < -6$. Неравенство верное, так как $-2\pi \approx -6,28318$.
Ответ: $[-2\pi] = -7$