Номер 6, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции. Объясните почему.

Согласно определению, функция — это такое правило или зависимость, при котором каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества соответствует одно и только одно значение зависимой переменной (функции $y$).

Для того чтобы некоторая кривая на координатной плоскости являлась графиком функции, она должна удовлетворять так называемому "тесту с вертикальной прямой": любая вертикальная прямая вида $x = a$ должна пересекать график не более чем в одной точке. Если найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то этот график не является графиком функции, так как одному значению $x$ будет соответствовать несколько значений $y$.

В качестве примера графика, который не является графиком функции, можно привести окружность. Например, рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $R=5$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Объяснение, почему это не функция:

Возьмем какое-либо значение $x$ из области определения этой кривой, например, $x=3$. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы найти соответствующее значение $y$:
$3^2 + y^2 = 25$
$9 + y^2 = 25$
$y^2 = 25 - 9$
$y^2 = 16$

Последнее уравнение имеет два корня: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, одному значению аргумента $x=3$ соответствуют два различных значения $y$: $4$ и $-4$. Это прямо противоречит определению функции. Геометрически это означает, что вертикальная прямая $x=3$ пересекает график окружности в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Ответ: Примером графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, является окружность, например, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Этот график не является функцией, потому что одному значению аргумента $x$ (например, $x=3$) соответствует более одного значения $y$ (в данном случае $y=4$ и $y=-4$), что нарушает основное определение функции, требующее единственности соответствия.