Номер 4, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Как вы считаете, метод математической индукции — дедуктивный или индуктивный метод?

Несмотря на свое название, метод математической индукции является дедуктивным, а не индуктивным методом рассуждения. Чтобы понять почему, необходимо различать индукцию в естественных науках (эмпирическую индукцию) и математическую индукцию.

Индуктивное рассуждение — это метод, при котором общий вывод делается на основе конечного числа частных наблюдений. Например, увидев сто белых лебедей, можно сделать индуктивный вывод, что «все лебеди белые». Такой вывод является вероятностным, но не абсолютно достоверным, так как он может быть опровергнут одним контрпримером (встречей с черным лебедем). Индукция ведет от частного к общему, и ее выводы не являются логически строгими.

Дедуктивное рассуждение — это метод, при котором вывод с логической необходимостью следует из общих посылок (аксиом, определений, ранее доказанных теорем). Если посылки истинны, то и вывод гарантированно истинен. Дедукция ведет от общего к частному или от общих правил к конкретным заключениям. Например: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен». Вывод здесь является абсолютно достоверным.

Метод математической индукции используется для доказательства истинности некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого числа $n_0$. Он состоит из двух шагов:

1. База индукции: Доказывается истинность утверждения для начального значения $n=n_0$, то есть доказывается $P(n_0)$. Это прямое, дедуктивное доказательство для одного конкретного случая.
2. Индукционный переход (шаг индукции): Доказывается, что если утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$ (это называется индуктивным предположением), то оно будет истинно и для следующего числа $k+1$. То есть, доказывается логическая импликация $P(k) \Rightarrow P(k+1)$. Этот шаг также является чисто дедуктивным умозаключением, основанным на правилах логики и аксиомах.

Принцип математической индукции (который сам является аксиомой или теоремой в формальных системах, таких как арифметика Пеано) утверждает, что если оба этих шага выполнены, то утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$. Этот метод не делает предположение на основе нескольких примеров. Вместо этого он строит бесконечную цепь дедуктивных выводов:

$P(n_0)$ истинно (из базы).
Так как $P(n_0)$ истинно, то из $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ следует, что $P(n_0+1)$ истинно.
Так как $P(n_0+1)$ истинно, то из $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ следует, что $P(n_0+2)$ истинно.
И так далее до бесконечности.

Каждый шаг в этой цепи является логически обоснованным и строгим. Таким образом, вывод, полученный методом математической индукции, является абсолютно достоверным, а не вероятностным. Это ключевая характеристика дедуктивного метода. Название «индукция» является историческим и может вводить в заблуждение, но по своей логической сути этот метод — форма дедукции.

Ответ: Метод математической индукции — это дедуктивный метод.