Номер 8, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Объясните, как с помощью числовой прямой решить:

а) уравнение $|x - 3| = 5$;

б) неравенство $|x - 3| < 5$;

в) неравенство $|x - 3| \ge 5$.

Геометрический смысл модуля разности двух чисел $|a - b|$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ на числовой прямой. Таким образом, выражение $|x - 3|$ означает расстояние между некоторой точкой $x$ и точкой $3$.

а) уравнение $|x - 3| = 5$

Это уравнение можно прочитать так: "расстояние от точки $x$ до точки $3$ равно $5$". Чтобы найти такие точки $x$ на числовой прямой, нужно от точки $3$ отложить расстояние, равное $5$, в обе стороны — вправо и влево.

1. Находим точку справа от 3: $x_1 = 3 + 5 = 8$.

2. Находим точку слева от 3: $x_2 = 3 - 5 = -2$.

Таким образом, на числовой прямой есть две точки, которые удалены от точки $3$ на расстояние $5$: это точки $-2$ и $8$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 8$.

б) неравенство $|x - 3| < 5$

Это неравенство означает, что "расстояние от точки $x$ до точки $3$ меньше, чем $5$". На числовой прямой это все точки, которые находятся к точке $3$ ближе, чем на $5$ единиц.

Граничными точками, где расстояние равно $5$, как мы нашли в пункте а), являются $-2$ и $8$. Нам нужны все точки, которые лежат между этими граничными точками, поскольку их расстояние до точки $3$ будет меньше $5$.

Так как неравенство строгое ($<$), сами точки $-2$ и $8$ в решение не входят. Решением будет интервал $(-2, 8)$.

Ответ: $x \in (-2, 8)$.

в) неравенство $|x - 3| \ge 5$

Это неравенство означает, что "расстояние от точки $x$ до точки $3$ больше или равно $5$". На числовой прямой это все точки, которые находятся от точки $3$ на расстоянии $5$ или еще дальше.

Используя те же граничные точки $-2$ и $8$, мы ищем все точки, которые лежат не между ними. Это будут два луча на числовой прямой:

1. Точки, которые лежат левее $-2$, включая саму точку $-2$: $x \le -2$.

2. Точки, которые лежат правее $8$, включая саму точку $8$: $x \ge 8$.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граничные точки $-2$ и $8$ включаются в решение. Решением является объединение двух этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [8, +\infty)$.