Номер 2, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Объясните, почему для любого действительного числа выполняется неравенство $|a| \ge 0$.

Неравенство $|a| \ge 0$ справедливо для любого действительного числа $a$, и это следует непосредственно из определения модуля (абсолютной величины).

Определение модуля числа $a$ задается следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Чтобы доказать утверждение, рассмотрим все возможные случаи для действительного числа $a$.

Случай 1: Число a неотрицательное, то есть $a \ge 0$.
В этом случае, по первой строке определения, модуль числа $a$ равен самому числу $a$: $|a| = a$. Поскольку мы рассматриваем случай, когда $a \ge 0$, то и $|a|$ также будет больше или равно нулю. Таким образом, неравенство $|a| \ge 0$ выполняется.

Случай 2: Число a отрицательное, то есть $a < 0$.
В этом случае, по второй строке определения, модуль числа $a$ равен противоположному числу, то есть $-a$: $|a| = -a$. Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то умножение его на $-1$ дает в результате положительное число. Например, если $a = -7$, то $|-7| = -(-7) = 7$, что больше нуля. В общем виде, если $a < 0$, то $-a > 0$. Следовательно, в этом случае $|a|$ всегда строго больше нуля, а значит, условие $|a| \ge 0$ тем более выполняется.

Мы рассмотрели все возможные действительные числа (неотрицательные и отрицательные) и показали, что в каждом из случаев их модуль является неотрицательным числом.

Также это утверждение можно объяснить с помощью геометрического смысла модуля. Модуль числа $|a|$ представляет собой расстояние на числовой прямой от точки с координатой $a$ до начала отсчета (точки 0). Расстояние по своему определению не может быть отрицательной величиной; оно либо равно нулю (когда точка совпадает с началом отсчета), либо положительно. Следовательно, $|a| \ge 0$ для любого $a$.

Ответ: Выполнение неравенства $|a| \ge 0$ следует из определения модуля. Если число $a$ неотрицательно ($a \ge 0$), то его модуль равен самому числу, и, следовательно, он неотрицателен. Если число $a$ отрицательно ($a < 0$), то его модуль равен противоположному ему числу $-a$, которое всегда является положительным. В итоге, модуль любого действительного числа всегда является неотрицательным числом.