Номер 10, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Если $n$ — нечётное число, то верно ли, что для любых чисел $a, b$ из $a > b$ следует $a^n > b^n$?

Данное утверждение верно, если под нечётным числом $n$ понимать положительное целое число (например, $1, 3, 5, \dots$). Если же $n$ может быть отрицательным нечётным числом (например, $-1, -3, \dots$), то утверждение неверно.

Рассмотрим сначала случай, когда $n$ — отрицательное нечётное число. Пусть $n = -m$, где $m$ — положительное нечётное число. Утверждение гласит, что из $a > b$ следует $a^{-m} > b^{-m}$. Приведём контрпример. Пусть $n = -1$, $a = 2$, $b = 1$. Условие $a > b$ выполняется, так как $2 > 1$. Проверим следствие $a^n > b^n$:$2^{-1} > 1^{-1}$$\frac{1}{2} > 1$Это неравенство ложно. Следовательно, для отрицательных нечётных $n$ утверждение в общем случае неверно.

Теперь докажем, что утверждение верно для любого положительного нечётного числа $n$. Нам нужно доказать, что для любых чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^n > b^n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $a^n - b^n$ положительна.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней:$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

По условию $a > b$, следовательно, множитель $(a - b)$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения $a^n - b^n$ совпадает со знаком второго множителя, который мы обозначим как $S$:$S = a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}$

Докажем, что $S > 0$ при любых $a > b$. Разобьём доказательство на три случая.

Случай 1: $a > b \ge 0$.Если $b > 0$, то и $a > 0$. В этом случае все слагаемые в сумме $S$ являются положительными, так как представляют собой произведения положительных чисел. Сумма положительных чисел положительна, поэтому $S > 0$.Если $b = 0$, то $a > 0$. Сумма $S$ превращается в одно слагаемое $a^{n-1}$. Так как $n$ — положительное нечётное число ($n \ge 1$), то $n-1$ — неотрицательное чётное число. Если $n=1$, $S=a^0=1>0$. Если $n \ge 3$, то $n-1$ — положительное чётное число, и так как $a > 0$, то $a^{n-1} > 0$. В обоих случаях $S > 0$.

Случай 2: $b < a \le 0$.Если $a = 0$, то $b < 0$. Сумма $S$ равна $b^{n-1}$. Поскольку $n-1$ — положительное чётное число, а $b \neq 0$, то $b^{n-1} > 0$.Если $a < 0$ (и, следовательно, $b < 0$), то каждое слагаемое в $S$ вида $a^{n-1-k}b^k$ будет положительным. Это следует из того, что суммарная степень у $a$ и $b$ в каждом члене равна $n-1$, то есть чётному числу. Произведение чётного числа отрицательных сомножителей положительно. Например, для $a^{n-2}b$: $a$ возводится в нечётную степень $n-2$ (результат отрицательный), и $b$ — в первую степень (результат отрицательный). Их произведение положительно. Таким образом, все слагаемые в $S$ положительны, а значит и их сумма $S > 0$.

Случай 3: $a > 0 > b$.Поскольку $n$ — положительное нечётное число, $n-1$ — чётное. Пусть $n-1=2m$ для некоторого целого $m \ge 0$.Сумма $S$ является суммой геометрической прогрессии. Если $b \neq 0$, мы можем записать $S$ следующим образом:$S = b^{n-1} \left( \left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} + \left(\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \dots + \frac{a}{b} + 1 \right) = b^{n-1} \cdot \frac{(a/b)^n - 1}{(a/b) - 1}$Обозначим $x = a/b$. Так как $a > 0$ и $b < 0$, то $x < 0$.Множитель $b^{n-1}$ положителен, так как $n-1$ — чётная степень.Рассмотрим дробь $\frac{x^n - 1}{x - 1}$.Знаменатель $x - 1$ отрицателен, так как $x < 0$.Числитель $x^n - 1$. Поскольку $x < 0$, а $n$ — нечётная степень, то $x^n < 0$. Следовательно, $x^n - 1$ также отрицателен.Отношение двух отрицательных чисел является положительным числом. Значит, дробь положительна.Поскольку оба множителя ($b^{n-1}$ и дробь) положительны, их произведение $S$ также положительно.

Таким образом, во всех возможных случаях $S > 0$. Так как $a - b > 0$ и $S > 0$, их произведение $a^n - b^n$ также положительно, что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство (с использованием производной)
Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$, где $n$ — положительное нечётное число. Нам нужно доказать, что эта функция является строго возрастающей, то есть из $a > b$ следует $f(a) > f(b)$.Для анализа монотонности функции найдем её производную:$f'(x) = n x^{n-1}$Поскольку $n$ — положительное нечётное число, $n \ge 1$, а показатель степени $n-1$ является неотрицательным чётным числом.Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для любого действительного $x$. Так как $n > 0$, то и производная $f'(x) = n x^{n-1} \ge 0$ для всех $x$. При этом $f'(x) = 0$ только в одной точке $x=0$ (если $n>1$). Функция, производная которой неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в отдельных точках, является строго возрастающей. Таким образом, из $a > b$ следует $a^n > b^n$.

Ответ: Да, утверждение верно, если $n$ — положительное нечётное число. Если $n$ — отрицательное нечётное число, то утверждение неверно.