Номер 9, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Если $a \ge 0, b \ge 0, n \in N, a > b$, то какое из утверждений верно:

а) $a^n < b^n$;

б) $a^n > b^n$;

в) $a^n = b^n$?

Нам даны следующие условия: $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in N$ (где $N$ — это множество натуральных чисел, т.е. $n \ge 1$), и $a > b$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений, чтобы определить, какое из них является верным.

а) $a^n < b^n$

Чтобы проверить это утверждение, воспользуемся методом контрпримера. Выберем числа, удовлетворяющие заданным условиям. Пусть $a=3$, $b=2$ и $n=2$. Все условия выполнены: $3 \ge 0$, $2 \ge 0$, $2 \in N$ и $3 > 2$. Вычислим значения $a^n$ и $b^n$: $a^n = 3^2 = 9$ $b^n = 2^2 = 4$ Сравнивая результаты, мы видим, что $9 > 4$. Это противоречит утверждению $a^n < b^n$. Следовательно, это утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: Утверждение неверно.

б) $a^n > b^n$

Это утверждение является верным. Докажем это двумя способами.

Способ 1: Использование свойств степенной функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$ на множестве неотрицательных чисел $x \ge 0$. При натуральном показателе $n \ge 1$ эта функция является строго возрастающей. Это значит, что если $x_1 > x_2 \ge 0$, то и $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $x_1^n > x_2^n$. В нашей задаче $a$ и $b$ как раз удовлетворяют этому условию: $a > b \ge 0$. Следовательно, $a^n > b^n$.

Способ 2: Анализ разности $a^n - b^n$.

Разложим разность $a^n - b^n$ на множители: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Проанализируем знак каждого множителя:

• Первый множитель, $(a-b)$: так как по условию $a > b$, то $a-b > 0$.
• Второй множитель, $(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$: так как $a > b \ge 0$, то $a > 0$ и $b \ge 0$. Все слагаемые в этой сумме неотрицательны. При этом первое слагаемое $a^{n-1}$ строго положительно (так как $a > 0$ и $n \ge 1$). Сумма положительного числа и неотрицательных чисел всегда положительна. Таким образом, второй множитель больше нуля.

Поскольку оба множителя положительны, их произведение также положительно: $a^n - b^n > 0$. Из этого следует, что $a^n > b^n$.

Ответ: Утверждение верно.

в) $a^n = b^n$

Это утверждение неверно. Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ и натурального $n$, равенство $a^n = b^n$ выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$. Однако в условии задачи задано строгое неравенство $a > b$. Поэтому данное равенство выполняться не может. На примере из пункта а): при $a=3, b=2, n=2$, мы получили $a^n = 9$ и $b^n = 4$, что очевидно не равно.

Ответ: Утверждение неверно.