Номер 2, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что такое числовая прямая?

Числовая прямая (также называемая координатной прямой) — это фундаментальное понятие в математике, представляющее собой геометрическую модель множества всех действительных чисел.

Это бесконечная в обе стороны прямая линия, на которой каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное число. Чтобы превратить обычную прямую в числовую, необходимо задать три элемента:

• Начало отсчета. Это точка на прямой, которой соответствует число ноль ($0$). Обычно её обозначают буквой $O$.
• Единичный отрезок. Это отрезок определённой, фиксированной длины, который принимается за единицу измерения (масштаб). Он задаёт расстояние между целыми числами. Например, расстояние от точки $0$ до точки $1$ равно длине единичного отрезка.
• Положительное направление. Это одно из двух направлений на прямой, которое обычно указывается стрелкой. Традиционно положительным считается направление вправо от начала отсчета. В этом направлении значения чисел увеличиваются. Противоположное направление является отрицательным.

Ключевые свойства и назначение числовой прямой:

• Взаимно-однозначное соответствие: Существует строгое соответствие между точками на прямой и множеством действительных чисел ($\mathbb{R}$). Это означает, что каждой точке на прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот, каждое действительное число (целое, дробное, рациональное или иррациональное) имеет своё уникальное место на прямой.
• Визуализация и упорядочивание: Числовая прямая наглядно демонстрирует порядок чисел. Если число $a$ расположено правее числа $b$, то $a > b$. Если левее — то $a < b$. Например, на прямой видно, что $1 > -2$ и $-0.5 > -1$.
• Изображение числовых множеств: Она незаменима для графического представления решений неравенств и числовых промежутков. Например, решение неравенства $x \ge 2$ — это луч, начинающийся в точке $2$ и идущий вправо. Интервал $(-1, 3)$ — это все точки, расположенные строго между $-1$ и $3$.
• Основа для систем координат: Числовая прямая является основой для построения более сложных систем координат. Например, декартова система координат на плоскости состоит из двух перпендикулярных числовых прямых — оси абсцисс ($Ox$) и оси ординат ($Oy$).

Таким образом, числовая прямая является мощным инструментом для визуализации чисел и отношений между ними.

Ответ: Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны точка отсчета (соответствующая нулю), единичный отрезок (задающий масштаб) и положительное направление. Каждой точке на этой прямой соответствует единственное действительное число, и каждому действительному числу — единственная точка, что позволяет наглядно представлять числа, сравнивать их и изображать числовые множества.