Номер 5, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Если $a \neq 0$ — рациональное число, а $\beta$ — иррациональное число, то какое число — рациональное или иррациональное — получится, если над ними выполнить арифметическую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление)?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим каждую арифметическую операцию отдельно, используя метод доказательства от противного. Пусть $a$ — рациональное число ($a \in \mathbb{Q}$), такое, что $a \neq 0$, и $\beta$ — иррациональное число ($\beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).

Сложение

Рассмотрим сумму $a + \beta$. Предположим, что эта сумма является рациональным числом, то есть $a + \beta = c$, где $c \in \mathbb{Q}$. Тогда мы можем выразить $\beta$ как $\beta = c - a$. Поскольку $c$ и $a$ — рациональные числа, их разность $c - a$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно вычитания). Таким образом, мы получаем, что $\beta$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $\beta$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и сумма $a + \beta$ должна быть иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Вычитание

Рассмотрим разность. Есть два случая: $a - \beta$ и $\beta - a$.
1. Предположим, что $a - \beta = d$, где $d \in \mathbb{Q}$. Тогда $\beta = a - d$. Так как $a$ и $d$ — рациональные числа, их разность $a - d$ также рациональна. Это означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию.
2. Предположим, что $\beta - a = e$, где $e \in \mathbb{Q}$. Тогда $\beta = e + a$. Так как $e$ и $a$ — рациональные числа, их сумма $e + a$ также рациональна. Это снова означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию.
В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, результат вычитания всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Умножение

Рассмотрим произведение $a \cdot \beta$. Предположим, что это произведение является рациональным числом, то есть $a \cdot \beta = f$, где $f \in \mathbb{Q}$. Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$. Получим $\beta = \frac{f}{a}$. Так как $f$ — рациональное число, а $a$ — ненулевое рациональное число, их частное $\frac{f}{a}$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно деления на ненулевое число). Это приводит к выводу, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и произведение $a \cdot \beta$ должно быть иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Деление

Рассмотрим частное. Есть два случая: $\frac{a}{\beta}$ и $\frac{\beta}{a}$. (Заметим, что $\beta \neq 0$, так как иррациональные числа не могут быть нулем, а $a \neq 0$ дано по условию).
1. Предположим, что $\frac{a}{\beta} = g$, где $g \in \mathbb{Q}$. Поскольку $a \neq 0$, то и $g \neq 0$. Мы можем выразить $\beta$ как $\beta = \frac{a}{g}$. Так как $a$ и $g$ — ненулевые рациональные числа, их частное $\frac{a}{g}$ также рационально. Это противоречит условию, что $\beta$ иррационально.
2. Предположим, что $\frac{\beta}{a} = h$, где $h \in \mathbb{Q}$. Мы можем выразить $\beta$ как $\beta = h \cdot a$. Так как $h$ и $a$ — рациональные числа, их произведение $h \cdot a$ также рационально. Это снова противоречит условию.
В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, результат деления всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.