Номер 3, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сколько рациональных чисел можно расположить между 1,2 и 1,3?

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно расположить бесконечное множество других рациональных чисел. Это свойство называется плотностью множества рациональных чисел.

Числа 1,2 и 1,3 являются рациональными, так как их можно представить в виде обыкновенной дроби (отношения двух целых чисел):
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
$1,3 = \frac{13}{10}$

Существует несколько способов показать, что между ними находится бесконечное количество других рациональных чисел.

Способ 1: Нахождение среднего арифметического
Если взять два любых различных рациональных числа, их среднее арифметическое всегда будет рациональным числом, находящимся между ними.
Найдем среднее арифметическое для 1,2 и 1,3:
$\frac{1,2 + 1,3}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$
Число 1,25 рационально и лежит между 1,2 и 1,3. Теперь мы можем повторить эту процедуру для нового интервала, например, от 1,2 до 1,25:
$\frac{1,2 + 1,25}{2} = \frac{2,45}{2} = 1,225$
Этот процесс можно продолжать до бесконечности, каждый раз получая новое рациональное число внутри исходного интервала. Это доказывает, что количество таких чисел бесконечно.

Способ 2: Увеличение точности десятичной дроби
Мы можем дописывать нули в конце десятичной дроби, не меняя ее значения.
Представим наши числа как 1,20 и 1,30. Между ними очевидно лежат рациональные числа: 1,21, 1,22, ..., 1,29.
Теперь представим их как 1,200 и 1,300. Между ними уже можно найти 99 чисел: 1,201, 1,202, ..., 1,299.
Продолжая добавлять нули, мы можем создать бесконечное количество "мест" для новых рациональных чисел. Например, следующая бесконечная последовательность чисел:
1,21
1,201
1,2001
1,20001
... и так далее.
Все эти числа являются рациональными и все они расположены строго между 1,2 и 1,3.

Таким образом, на основании свойства плотности множества рациональных чисел, между 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечно много рациональных чисел.

Ответ: между числами 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечное множество рациональных чисел.