Номер 14, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14. Каким соотношением связаны между собой три числа: $ab$, $\text{НОД}(a; b)$ и $\text{НОК}(a; b)$?

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальное соотношение, связывающее их произведение $a \cdot b$, их наибольший общий делитель (НОД) и их наименьшее общее кратное (НОК). Это соотношение гласит, что произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих этих чисел.

Математически это выражается следующей формулой:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$

Эта формула и является искомым соотношением, связывающим три величины: $ab$, $НОД(a; b)$ и $НОК(a; b)$.

Доказательство:

Доказательство этого утверждения удобно провести, используя каноническое разложение чисел на простые множители. Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Представим их в виде произведения простых чисел:

$a = p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n}$

$b = p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{y_n}$

Здесь $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — это все простые делители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$, а $x_i, y_i$ — неотрицательные целые показатели степеней (если какой-то простой делитель не входит в разложение числа, соответствующий показатель равен 0).

По определению, наибольший общий делитель находится путем взятия минимальных степеней для каждого простого множителя:

$НОД(a; b) = p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\min(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n)}$

А наименьшее общее кратное — путем взятия максимальных степеней:

$НОК(a; b) = p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\max(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(x_n, y_n)}$

Теперь перемножим НОД и НОК:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = (p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n)}) \cdot (p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(x_n, y_n)})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = p_1^{\min(x_1, y_1) + \max(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n) + \max(x_n, y_n)}$

Для любых двух чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к показателям степеней:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = p_1^{x_1+y_1} \cdot p_2^{x_2+y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+y_n}$

Теперь рассмотрим произведение самих чисел $a$ и $b$:

$a \cdot b = (p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n}) \cdot (p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{y_n}) = p_1^{x_1+y_1} \cdot p_2^{x_2+y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+y_n}$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что они идентичны. Таким образом, доказано, что $НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$.

Пример:

Возьмем числа $a = 12$ и $b = 18$.

Разложим их на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3^1$

$18 = 2^1 \cdot 3^2$

Найдем НОД и НОК:

$НОД(12; 18) = 2^{\min(2,1)} \cdot 3^{\min(1,2)} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$

$НОК(12; 18) = 2^{\max(2,1)} \cdot 3^{\max(1,2)} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Теперь проверим соотношение:

Произведение чисел $a$ и $b$: $12 \cdot 18 = 216$.

Произведение НОД и НОК: $6 \cdot 36 = 216$.

Как видим, $216 = 216$, что подтверждает справедливость формулы.

Ответ: Три числа $ab$, $НОД(a; b)$ и $НОК(a; b)$ связаны соотношением $НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$.