Номер 17, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17. Сформулируйте основную теорему арифметики натуральных чисел.

Формулировка теоремы

Основная теорема арифметики (также известная как теорема о единственности разложения на простые множители) гласит: любое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Пояснения к ключевым понятиям

Для понимания теоремы необходимо определить основные термины:

- Натуральное число — это число, используемое при счёте предметов: $1, 2, 3, \dots$ Теорема применяется к числам $n > 1$.

- Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Примеры: $2, 3, 5, 7, 11, 13$.

- Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Например, $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$.

Два аспекта теоремы: существование и единственность

Теорему можно разбить на две части:

1. Существование разложения. Это означает, что любое составное число можно "собрать" из простых множителей. Например, число 20 можно получить, перемножив простые числа 2, 2 и 5.

2. Единственность разложения. Это означает, что для каждого числа набор "строительных блоков" (простых множителей) уникален. Порядок множителей может меняться ($20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ или $20 = 5 \cdot 2 \cdot 2$), но сам набор $\{2, 2, 5\}$ — единственный возможный для числа 20.

Каноническое разложение

Чтобы сделать представление абсолютно уникальным, множители принято записывать в порядке возрастания и группировать одинаковые в виде степеней. Такое представление называется каноническим разложением числа на простые множители.

Формально: любое натуральное число $n > 1$ можно единственным образом представить в виде:
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$
где $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ — простые числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$ — натуральные числа (их степени).

Примеры

- Каноническое разложение числа 120:
$120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

- Каноническое разложение числа 588:
$588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2$.

- Для простого числа, например 19, каноническое разложение — это само число: $19 = 19^1$.

Значение теоремы

Эта теорема является фундаментальной в теории чисел, поскольку она устанавливает, что простые числа служат "элементарными кирпичиками", из которых строятся все остальные натуральные числа. На ней основаны многие важные понятия и алгоритмы, включая нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел, а также некоторые методы в криптографии.

Ответ: Основная теорема арифметики натуральных чисел утверждает, что любое натуральное число больше единицы ($n > 1$) либо само является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования сомножителей.