Номер 3, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите пример иррационального числа, расположенного между числами 1,2 и 1,3.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Нам нужно найти такое иррациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $1,2 < x < 1,3$.

Рассмотрим два способа нахождения такого числа.

Способ 1: Конструирование числа

Можно сконструировать иррациональное число, которое начинается с $1,2$, а затем следуют цифры, образующие бесконечную непериодическую последовательность. Любое такое число будет больше $1,2$, но меньше $1,3$.

Например, возьмем число $1,2$ и будем дописывать к нему цифры по определенному правилу, которое не приводит к периодичности. Например, будем добавлять последовательно 1, потом один 0, потом 1, потом два 0, потом 1, потом три 0 и так далее.

Получим число: $1,2101001000100001...$

Это число удовлетворяет двум условиям. Во-первых, оно больше $1,2$ и меньше $1,3$. Во-вторых, оно иррациональное, так как его десятичная часть бесконечна и не имеет периода.

Другой пример, сконструированный по похожему принципу: $1,23233233323333...$

Способ 2: Использование квадратных корней

Этот способ основан на том, что квадратный корень из любого положительного числа, не являющегося полным квадратом, есть число иррациональное.

Мы ищем иррациональное число $x$ в интервале $(1,2; 1,3)$. Так как все числа в этом интервале положительны, мы можем возвести границы интервала в квадрат. Это поможет нам найти число, из которого можно извлечь корень.

Возведем в квадрат границы нашего интервала:

$1,2^2 = 1,44$

$1,3^2 = 1,69$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти любое число $y$ в интервале $(1,44; 1,69)$, которое не является полным квадратом. Тогда число $x = \sqrt{y}$ будет иррациональным и будет лежать в исходном интервале $(1,2; 1,3)$.

Выберем любое удобное число из интервала $(1,44; 1,69)$. Например, $y = 1,5$. Число $1,5$ не является полным квадратом, значит, $\sqrt{1,5}$ — иррациональное число.

Проверим: $1,44 < 1,5 < 1,69$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,5} < \sqrt{1,69}$, что равносильно $1,2 < \sqrt{1,5} < 1,3$.

Таким образом, $\sqrt{1,5}$ является иррациональным числом, расположенным между $1,2$ и $1,3$.

В качестве примера можно взять и другие числа из этого интервала, например: $\sqrt{1,6}$, $\sqrt{1,65}$ и так далее.

Ответ: $\sqrt{1,5}$