Номер 2, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Приведите несколько примеров иррациональных чисел, отличных от тех, что приведены на с. 29.

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Десятичная запись иррационального числа является бесконечной и непериодической.

Ниже приведено несколько примеров иррациональных чисел, которые, как правило, реже упоминаются в качестве базовых примеров.

1. Корень из числа, не являющегося точным квадратом.
Например, число $\sqrt{10}$. Оно является иррациональным, так как не существует такого целого числа, квадрат которого равен 10. Точно так же иррациональными являются $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{11}$ и т.д. Приблизительное значение: $\sqrt{10} \approx 3.16227766...$

2. Кубический корень из числа, не являющегося точным кубом.
Например, число $\sqrt[3]{5}$. Оно иррационально, потому что не существует целого числа, которое в третьей степени дало бы 5. Аналогично иррациональны $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{12}$, $\sqrt[4]{15}$ и другие корни из чисел, не являющихся точными степенями. Приблизительное значение: $\sqrt[3]{5} \approx 1.70997594...$

3. Золотое сечение ($\phi$).
Это известная математическая константа, которая выражается формулой $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Поскольку $\sqrt{5}$ — иррациональное число, то и результат данных арифметических операций (сложение с рациональным числом 1 и деление на рациональное число 2) также является иррациональным числом. Приблизительное значение: $\phi \approx 1.61803398...$

4. Логарифмы.
Например, десятичный логарифм числа 2, то есть $\lg(2)$ или $\log_{10}2$. Это число иррационально. Если бы оно было рациональным, то $\log_{10}2 = \frac{p}{q}$, откуда $10^{\frac{p}{q}} = 2$, или $10^p = 2^q$. Раскрыв $10^p$ как $(2 \cdot 5)^p = 2^p \cdot 5^p$, мы получили бы $2^p \cdot 5^p = 2^q$. Это равенство возможно только если $p=0$, что привело бы к $1=2^q$, что невозможно для целого $q$. Таким образом, число иррационально. Приблизительное значение: $\lg(2) \approx 0.30102999...$

5. Конструктивно заданное иррациональное число.
Можно создать иррациональное число, записывая цифры по определенному правилу, которое исключает периодичность. Например, число $0.101001000100001...$, в котором количество нулей между единицами последовательно увеличивается. Такая десятичная дробь является бесконечной и непериодической, а значит, представляет иррациональное число.

Ответ: Примерами иррациональных чисел могут служить $\sqrt{10}$, $\sqrt[3]{5}$, золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\lg(2)$, а также число, сконструированное как бесконечная непериодическая дробь, например, $0.1010010001...$