Номер 4, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Даны два рациональных числа. Каким — рациональным или иррациональным — может быть их сумма, разность, произведение, частное, квадрат одного из них?

Сумма
Множество рациональных чисел является замкнутым относительно операции сложения. Это означает, что сумма любых двух рациональных чисел всегда будет рациональным числом.
Доказательство: Пусть даны два рациональных числа $a$ и $b$. По определению, их можно представить в виде дроби $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$, где $p_1, p_2$ — целые числа, а $q_1, q_2$ — натуральные числа.
Их сумма равна:$a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2}$
В числителе дроби $p_1q_2 + p_2q_1$ стоит целое число (так как сумма и произведение целых чисел — это целое число), а в знаменателе $q_1q_2$ — натуральное число (произведение натуральных чисел — натуральное число). Следовательно, результат является отношением целого числа к натуральному, что по определению является рациональным числом. Сумма не может быть иррациональной.
Ответ: рациональным.

Разность
Множество рациональных чисел также замкнуто относительно операции вычитания.
Доказательство: Используя те же обозначения, что и для суммы, найдем разность чисел $a$ и $b$:
$a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$
Числитель $p_1q_2 - p_2q_1$ является целым числом, а знаменатель $q_1q_2$ — натуральным. Таким образом, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом и не может быть иррациональной.
Ответ: рациональным.

Произведение
Множество рациональных чисел замкнуто и относительно операции умножения.
Доказательство: Найдем произведение чисел $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$:
$a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}$
Произведение $p_1 p_2$ является целым числом, а произведение $q_1 q_2$ — натуральным. Следовательно, произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
Ответ: рациональным.

Частное
Множество рациональных чисел (за исключением нуля) замкнуто относительно операции деления.
Доказательство: Найдем частное двух рациональных чисел $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю (а значит, и $p_2 \neq 0$).
$\frac{a}{b} = \frac{p_1/q_1}{p_2/q_2} = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2}$
Числитель $p_1 q_2$ является целым числом. Знаменатель $q_1 p_2$ является целым, не равным нулю, числом. Если $p_2 < 0$, то мы можем умножить числитель и знаменатель на $-1$, чтобы знаменатель стал натуральным. В любом случае, результат представим в виде отношения целого числа к натуральному, то есть является рациональным числом.
Ответ: рациональным.

Квадрат одного из них
Возведение в квадрат является частным случаем умножения, когда число умножается само на себя.
Доказательство: Пусть дано рациональное число $a = \frac{p}{q}$. Его квадрат:
$a^2 = a \cdot a = \frac{p}{q} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p^2}{q^2}$
Так как $p$ — целое число, то $p^2$ тоже целое. Так как $q$ — натуральное число, то $q^2$ тоже натуральное. Следовательно, квадрат любого рационального числа всегда является рациональным числом.
Ответ: рациональным.